Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Karakteristiek: verschil tussen versies
| (17 tussenliggende versies door 2 gebruikers niet weergegeven) | |||
| Regel 2: | Regel 2: | ||
==Formele definitie== | ==Formele definitie== | ||
Zij ''R'' een ring (niet noodzakelijk commutatief) met [[neutraal element]] 1<sub>''R''</sub> voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van ''R'', genoteerd char(''R''), is het kleinste [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]] getal ''n'' zodanig dat | Zij ''R'' een ring<ref>In de wiskunde is de '''ringtheorie''' de studie van '''ringen''', algebraïsche structuren, waar de operaties optellen en vermenigvuldigen zijn gedefinieerd en vergelijkbare eigenschappen hebben als bij de gehele getallen.</ref> (niet noodzakelijk commutatief) met [[neutraal element]] 1<sub>''R''</sub> voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van ''R'', genoteerd char(''R''), is het kleinste [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]] getal ''n'' zodanig dat: | ||
:< | ::{| | ||
|- | |||
|align="center" style="vertical-align: bottom; position:relative; top:12px;"|{{math|1<sub>R</sub> + 1<sub>R</sub> + ... + 1<sub>R</sub>}} | |||
| | |||
|- | |||
|style="font-size:12px;" align="center" |<span style="position: relative; right: -6px;">╰━━━━━╮</span><span style="position: relative; right: +6px;">╭━━━━━╯</span> | |||
|= 0<sub>R</sub> | |||
|- | |||
|align="center" style="vertical-align: top; position:relative; top:-12px;"|{{math|n maal}} | |||
| | |||
|} | |||
<!---[[Afbeelding:Kar1.jpg|200px|left]] | |||
<div style="clear:left;"></div>---> | |||
als een dergelijk getal ''n'' bestaat, en anders 0. | als een dergelijk getal ''n'' bestaat, en anders 0. | ||
==Voorbeelden== | ==Voorbeelden== | ||
ℤ, ℝ en ℂ hebben in de klassieke getallenverzamelingen de karakteristiek '''''0'''''. Zo ook de p-adische getallen. | |||
Als ''R'' een integriteitsgebied is | Als ''R'' een integriteitsgebied is; dat wil zeggen dat er geen elementen ''a,b ϵ R'' \ {0} bestaan met ''a ⋅ b = 0''; dan is de karakteristiek 0 of een [[Priemgetallen|priemgetal]]. Dit geldt in het bijzonder als ''R'' een [[lichaam (Ned) / veld (Be)|lichaam (in België: veld)]] is. | ||
De gehele restklassen modulo ''n'' (''n'' = 2,3,4,…) vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek ''n'', | |||
<br/>genoteerd: ℤ / nℤ. | |||
Dit is een lichaam, als en slechts als ''n'' een priemgetal is. | Dit is een lichaam, als en slechts als ''n'' een priemgetal is. | ||
Als ''R<sub>1''</sub> en ''R<sub>2''</sub> ringen met eenheid zijn, en ''R<sub>1''</sub> is een deelring van ''R<sub>2''</sub> (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben ''R<sub>1''</sub> en ''R<sub>2''</sub> dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met karakteristiek 0 bevat ℤ als deelring, en elke ring met karakteristiek ''n'' > 1 bevat ℤ/''n''ℤ als deelring. | |||
De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton { 0 = 1 }. | |||
==Alternatieve definities== | ==Alternatieve definities== | ||
De karakteristiek is gelijk aan de [[exponent (groepentheorie)|exponent]] van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve ''n'' zodanig dat | De karakteristiek is gelijk aan de [[exponent (groepentheorie)|exponent]] van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve ''n'' zodanig dat: | ||
:< | <!---[[Afbeelding:kar2.jpg|150px|left]] | ||
<div style="clear:left;"></div>---> | |||
::{| | |||
|- | |||
|align="center" style="vertical-align: bottom; position:relative; top:12px;"|{{math|a + a + ... + a}} | |||
| | |||
|- | |||
|style="font-size:12px;" align="center" |<span style="position: relative; right: -6px;">╰━━━━╮</span><span style="position: relative; right: +6px;">╭━━━━╯</span> | |||
|= 0 | |||
|- | |||
|align="center" style="vertical-align: top; position:relative; top:-12px;"|{{math|n maal}} | |||
| | |||
|} | |||
voor elk element ''a'' van de ring (nogmaals, als ''n'' bestaat, anders nul). Dit volgt uit de [[distributiviteit]] van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling. | voor elk element ''a'' van de ring (nogmaals, als ''n'' bestaat, anders nul). Dit volgt uit de [[distributiviteit]] van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling. | ||
Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het [[natuurlijk getal]] ''n'' zodanig dat ''n'' | Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het [[natuurlijk getal]] ''n'' zodanig dat ''n''ℤ de kern is van een ringhomomorfisme van ℤ naar ''R'', zodanig, dat ''R'' een deelring isomorf met de factorring ℤ/''n''ℤ bevat, die de afbeelding van dat homomorfisme zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig, dat er slechts een homomorfisme van de ring van de gehele getallen naar enig andere ring kan zijn. In de taal van categorietheorie is ℤ het initiële object van de categorie van ringen. Ook hier volgt men de conventie, dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft, en dat ring-homomorfismen het eenheidselement respecteren. | ||
{{Bron|bronvermelding= | |||
{{References}} | |||
}} | |||
[[Categorie:Abstracte algebra]] | [[Categorie:Abstracte algebra]] | ||
[[Categorie:Ringtheorie]] | [[Categorie:Ringtheorie]] | ||
{{MATH}} | |||
Huidige versie van 10 apr 2018 om 15:15
In de abstracte algebra is de karakteristiek van een ring R het kleinste aantal keren dat men in een som gebruik moet maken van het multiplicatieve identiteitselement (1) om het additieve identiteitselement (0) te verkrijgen; van de ring zegt men dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.
Formele definitie
Zij R een ring[1] (niet noodzakelijk commutatief) met neutraal element 1R voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van R, genoteerd char(R), is het kleinste natuurlijke getal getal n zodanig dat:
1R + 1R + ... + 1R ╰━━━━━╮╭━━━━━╯ = 0R n maal
als een dergelijk getal n bestaat, en anders 0.
Voorbeelden
ℤ, ℝ en ℂ hebben in de klassieke getallenverzamelingen de karakteristiek 0. Zo ook de p-adische getallen. Als R een integriteitsgebied is; dat wil zeggen dat er geen elementen a,b ϵ R \ {0} bestaan met a ⋅ b = 0; dan is de karakteristiek 0 of een priemgetal. Dit geldt in het bijzonder als R een lichaam (in België: veld) is.
De gehele restklassen modulo n (n = 2,3,4,…) vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek n,
genoteerd: ℤ / nℤ.
Dit is een lichaam, als en slechts als n een priemgetal is.
Als R1 en R2 ringen met eenheid zijn, en R1 is een deelring van R2 (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben R1 en R2 dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met karakteristiek 0 bevat ℤ als deelring, en elke ring met karakteristiek n > 1 bevat ℤ/nℤ als deelring.
De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton { 0 = 1 }.
Alternatieve definities
De karakteristiek is gelijk aan de exponent van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve n zodanig dat:
a + a + ... + a ╰━━━━╮╭━━━━╯ = 0 n maal
voor elk element a van de ring (nogmaals, als n bestaat, anders nul). Dit volgt uit de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.
Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het natuurlijk getal n zodanig dat nℤ de kern is van een ringhomomorfisme van ℤ naar R, zodanig, dat R een deelring isomorf met de factorring ℤ/nℤ bevat, die de afbeelding van dat homomorfisme zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig, dat er slechts een homomorfisme van de ring van de gehele getallen naar enig andere ring kan zijn. In de taal van categorietheorie is ℤ het initiële object van de categorie van ringen. Ook hier volgt men de conventie, dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft, en dat ring-homomorfismen het eenheidselement respecteren.
Bronvermelding
Bronnen, noten en/of referenties:
- º In de wiskunde is de ringtheorie de studie van ringen, algebraïsche structuren, waar de operaties optellen en vermenigvuldigen zijn gedefinieerd en vergelijkbare eigenschappen hebben als bij de gehele getallen.