Priemgetallen

Priemgetallen zijn tamelijk mysterieus van aard. Ondanks dat priemgetallen al sinds de oudheid worden bestudeerd, zijn er nog veel onbeantwoorde vragen. Sinds eeuwen wordt bijvoorbeeld door wiskundigen gezocht naar enige regelmaat in de oneindige reeks priemgetallen. Voor een deel zijn hierin inmiddels al heel wat successen geboekt, maar nog steeds in men zoekende. Maar er zijn nog wel meer belangrijke vragen bij priemgetallen die om een oplossing vragen. Men is druk doende ook daar achter te komen.

Priemgetallen zijn tamelijk mysterieus van aard

• Wat is eigenlijk een priemgetal?

Een priemgetal is een natuurlijk getal, dat slechts twee quotiënten heeft:
1 én het getal zelf.
Natuurlijke getallen zijn alle gehele getallen > 0 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, enz.
Een priemgetal is bijvoorbeeld het getal 17 , want het is alleen deelbaar door 1 én door 17. Het getal 18 is géén priemgetal, want het is deelbaar door 1 én door 18 , dat opgebouwd is uit de priemgetallen 2 en 3,
namelijk: 2 • 3 • 3 = 2 • 3 ².

Reeks priemgetallen

De reeks priemgetallen tot 100 bestaat uit:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,

( Het getal 91 lijkt op het eerste gezicht een priemgetal te zijn, maar is gewoon het product van 7 en 13! )

Tot het getal 100, blijken er dus 25 priemgetallen aanwezig te zijn.
In 300 v.Chr. bewees Euclides al, dat er een oneindig aantal priemgetallen is. Dat houdt in, dat het grootste priemgetal niet bestaat omdat er altijd nog een groter priemgetal mogelijk is.

Gehele getallen

Priemgetallen bezitten naast hun primaire eigenschap nog een andere bijzondere eigenschap. Het blijkt namelijk, dat alle gehele getallen - die geen priemgetallen zijn - bestaan bij de gratie van met elkaar vermenigvuldigde priemgetallen. Priemgetallen zijn dus de basis van alle gehele getallen.
Neem als voorbeeld het getal 84. Dit getal kan worden ontleed in:

• 2 • 2 • 3 • 7 = 2 ² • 3 • 7

Of neem het getal 51. Dit lijkt heel even op een priemgetal, maar blijkt het product te zijn van de priemgetallen 3 en 17.

Orde in de priemgetallen

Priemgetallen zijn niet zo willekeurig als men eerder had aangenomen. Er blijkt wel degelijk een patroon aanwezig te zijn. Vastgesteld is namelijk, dat een priemgetal dat op 1 eindigt tussen het getal 2 en 100 een aantal keren terugkeert. Eenzelfde patroon blijkt voor priemgetallen eindigend op 3, 7 en 9 te gelden. Ook die getallen blijken een aantal malen terug te keren. Deze 'wetmatigheid' levert het volgende beeld op:

Priemgetallen blijken niet zo willekeurig te zijn als men eerder had aangenomen

• voor het getal 1 gelden de priemgetallen: 11, 31, 41, 61 en 71
• voor het getal 3 gelden de priemgetallen: 3, 13, 23, 43, 53, 73 en 83
• voor het getal 5 geldt dit patroon niet, aangezien elk natuurlijk getal dat eindigt op 5 deelbaar is door 5 en één of meer priemgetallen
• voor het getal 7 gelden de priemgetallen: 7, 17, 37, 47, 67 en 97
• voor het getal 9 gelden de priemgetallen: 19, 29, 59, 79 en 89

Ondanks dat het patroon minder sterk wordt bij hogere priemgetallen dan 1, 3, 7 en 9, is ook bij getallen >100 een zekere wetmatigheid aanwezig.
Ook blijkt er een bepaalde regelmaat aanwezig te zijn in de aantallen priemgetallen. In de tabel zijn de priemgetallen voorkomende in de reeks 2 tot 1000 gerangschikt per 100. Het blijkt, dat het aantal priemgetallen per honderd natuurlijke getallen niet al te willekeurig is. In de afbeelding is dit fenomeen ook goed zichtbaar.
Verder blijkt, dat in de reeks van 2 t/m 1000, gemiddeld 17 priemgetallen per 100 natuurlijke getallen voorkomen.

Reeks	Natuurlijke getallen	Aantal priemgetallen
1	2 t/m 100	25
2	100 t/m 200	21
3	200 t/m 300	16
4	300 t/m 400	16
5	400 t/m 500	17
6	500 t/m 600	14
7	600 t/m 700	16
8	700 t/m 800	14
9	800 t/m 900	15
10	900 t/m 1000	14

Als hetzelfde wordt gedaan met een reeks van 2 t/m 10.000, dan blijkt nog steeds een zekere regelmaat tussen de stappen te bestaan, al wordt het gemiddelde geleidelijk aan wat kleiner, namelijk circa 12 priemgetallen per 100 natuurlijke getallen.
Wetenschappers beschouwen de opeenvolgende reeks priemgetallen als pseudowillekeurig , aangezien er niet direct een duidelijke structuur aan te wijzen is.

Priemtweelingen

Priemtweelingen zijn paren van priemgetallen die dichtbij elkaar staan met slechts 2 cijfers verschil. Dat betekent, dat er tussen die twee getallen een even getal ligt. ¹⁾
Meestal schrijft men de priemtweelingen in de vorm: p en p + 2. Voorbeelden hiervan zijn de priemgetallen 3 en 5, 5 en 7, en 17 en 19. In de bijgaande tabel zijn de aantallen priemtweelingen opgenomen, die voorkomen in de reeks priemgetallen tot 1500.

Reeks priemgetallen	Aantal priemtweelingen
2 t/m 100	8
100 t/m 200	8
200 t/m 300	4
300 t/m 400	2
400 t/m 500	3
500 t/m 600	2
600 t/m 700	3
700 t/m 800	0
800 t/m 900	5
900 t/m 1000	0
1000 t/m 1100	5
1100 t/m 1200	1
1200 t/m 1300	3
1300 t/m 1400	2
1400 t/m 1500	4

Opvallend is, dat de aantallen priemtweelingen na de reeks priemgetallen 200 t/m 300 afnemen en sterk wisselend in aantal worden.

Grote priemgetallen

De wetenschap is zo gefascineerd door priemgetallen dat er speciale computerprogramma’s zijn geschreven die zoeken naar steeds grotere priemgetallen. Het gaat om een zogenoemd Mersennepriemgetal. Een Mersennepriemgetal is een positief geheel getal dat precies 1 kleiner is dan een macht van twee. De priemgetallen die met momenteel gevonden worden, zijn allemaal Mersennegetallen (naar de Frans monnik en wiskundige Marin Mersenne). Deze getallen hebben de vorm: 2 ^p-1, waarbij p een priemgetal is, en dus oneven, bijvoorbeeld: 2 ³ – 1 = 7. Deze methode wordt momenteel als de meest efficiënte methode beschouwd om nieuwe priemgetallen te vinden.
Een eenvoudig voorbeeld van hoe een priemgetal kan worden herleid tot de bron is het volgende. Neem als voorbeeld het priemgetal 8191. De herkomst hiervan kan worden gevonden, door er eerst 1 bij op te tellen en te onderzoeken, of de algemene regel: 2 ^p-1 hier van toepassing is. Dit kan op een eenvoudige manier, door met de regels van de logaritmen te werken, aldus:

Bij dit betrekkelijk eenvoudige voorbeeld is het vinden van het priemgetal nog goed uitvoerbaar. Anders wordt het, bij de ontdekking van steeds groter wordende priemgetallen.
In 2002 was het grootste, bekende priemgetal 2 ^13.4666.917 - 1, een getal met 4.053.946 cijfers achter de komma. Helemaal uitgeschreven zou het ongeveer 20 km lang zijn. In 2013 werd opnieuw een grootste priemgetal geïntroduceerd, namelijk: 2 ^57.885.161 - 1, dat 17.425.170 decimalen bevat.
Heel snel daarna - namelijk in 2016 - werd er alweer een nieuw priemgetal gepubliceerd. Dit nieuwe, grootste priemgetal, namelijk: 2^74.207.281 - 1, telt 22.338.618 cijfers en is daarmee bijna 5 miljoen getallen groter dan de vorige recordhouder!
Dit nieuwste priemgetal is ontdekt door Curtis Cooper die deelnam aan het GIMPS {Great Internet Mersenne Prime Search).
Berekeningen die dit resultaat opleveren, kunnen alleen tot stand worden gebracht door de rekencapaciteit van een groot aantal computers te benutten.

Toepassing van priemgetallen

Hoewel priemgetallen mysterieus en wonderlijk aandoen, zijn ze van groot belang. Lange tijd dachten wiskundigen dat de getallen tot de zuivere wiskunde behoorden en dat er dus geen praktische toepassingen voor bestonden buiten de wiskunde. Veel van de huidige bank- en internetcodes maken er echter gebruik van. Twee priemgetallen met elkaar vermenigvuldigen om een uniek product te krijgen is dus eenvoudig, maar terugredeneren is zo lastig dat het een goede beveiligingsmethode is voor onder andere bankoverschrijvingen en codering van geheime berichten.
Neem als voorbeeld het getal 1219. Als getracht wordt het getal te delen door getallen onder de 10, dan lukt dit al niet. Ook met getallen onder de 20 gaat dit niet. Pas als men is aangeland bij het priemgetal 23, ontstaat er een deling, waarbij het priemgetal 53 de andere component blijkt te zijn. Het zal duidelijk zijn, dat naarmate het gekozen getal beduidend groter is, de berekening zonder hulpmiddelen niet zal lukken en dat het bijna ondoenlijk is het getal terug te brengen tot zijn elementaire factoren. Het omgaan met priemgetallen is dus geen wiskundig tijdverdrijf voor enkele specialisten, maar heeft wel degelijk een functie in het dagelijks leven.

Verdere ontwikkelingen

Wat weten we nog niet over priemgetallen?
Een bekend voorbeeld is het Vermoeden van Goldbach ²⁾. In dat Vermoeden wordt gesteld, dat elk even getal >2 geschreven kan worden als de som van twee priemgetallen. Dit klinkt eenvoudig, maar bewijzen, dat dit voor alle even getallen geldt, blijkt lastig.
Een ander raadsel vormen de al eerder genoemde priemtweelingen. Er wordt bijvoorbeeld nog onderzocht of er oneindig veel priemgetallen p bestaan waarvoor geldt, dat p + 2 eveneens een priemgetal is.
Bij de al wat grotere priemgetallen blijken nog steeds priemtweelingen te bestaan. Zo is er de priemtweeling 5741 en 5743 en nog wat verder weg het redelijk grote priemgetal: p = 9719.
Het blijkt, dat ook hier nog steeds een priemtweeling aanwezig is in de vorm: p + 2= 9721, maar dat wil niet zeggen, dat dit zo blijft doorgaan.
De vraag blijft dus bestaan of er oneindig veel priemtweelingen bestaan of dat de reeks eindig is.

Bronvermelding

Bronnen, noten en/of referenties:

• Stephen Skinner: 'Geheime geometrie', Librero bv, ISBN: 978-90-8998-034-2
• ¹⁾ Er bestaat een roman met als titel: 'De eenzaamheid van de priemgetallen' van de Italiaanse schrijver Paolo Giordano. Het is een symbolische titel die slaat op de wiskundige priemgetallen die alleen in paren voorkomen - priemtweelingen dus - en die niet zonder elkaar kunnen bestaan. De titel slaat ook op de relatie van Alice en Mattia, die vlak bij elkaar zijn maar niet dicht genoeg om elkaar echt aan te raken. Op pagina 139 van het boek schrijft Mattia - die met zijn afstudeerwerk bezig is - het getal 2760889966649 op, en besluit, dat dit zijn getal zou worden. Na een korte aarzeling schreef hij twee regels lager het getal 2760889966651 op. 'Dit is haar getal, had hij gedacht'.

' Het zouden wel eens priemtweelingen kunnen zijn', had Mattia overwogen. ' Als dat zo is....'

• ²⁾Christian Goldbach ( 1690 - 1764 ) was een Duits natuurkundige die in 1742 in een brief aan zijn collega Leonhard Euler schreef, dat hij vermoedde, dat Elk even getal >2 kan geschreven worden als de som van twee, niet noodzakelijk verschillende, priemgetallen.
• Het jaartal waarin dit lemma werd geschreven is 2017: een priemgetal !

We zullen moeten wachten tot 2027 om weer een jaartal te krijgen als priemgetal. Nog twee jaar verder - dus p + 2 - komt 2029, wat ook weer een priemgetal is en gelijk ook een deel van een priemtweeling vormt.

• Adams Appel op YouTube