Gebruiker:H/Methode van de onbepaalde coëfficiënten

De algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking bestaat uit de algemene oplossing van de homogene vergelijking (dus met rechterlid gelijk aan nul), plus een willekeurige particuliere oplossing van de volledige vergelijking. De methode van de onbepaalde coëfficiënten is een methode om zo'n particuliere oplossing te vinden. Ze is minder breed toepasbaar dan de methode van de variatie van de parameters, maar vereist minder rekenwerk.

Toepasbaarheid en gebruik

Deze methode voor het vinden van een particuliere oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficënten kan enkel worden toegepast indien het rechterlid van de differentiaalvergelijking bestaat uit functies wiens afgeleiden van een gelijke soort functie zijn als de functie zelf. Dit is enkel het geval voor:

• Veeltermen: elke afgeleide van een veelterm is steeds weer een veelterm, hoeveel keer men ook afleidt. Ook de nulfunctie is deze immers een veelterm.
• Exponentiële functies: elke afgeleide van een exponentiële functie is immers een veelvoud van dezelfde exponentiële functie.
• sin(kx) en/of cos(kx): alle afgeleiden van deze twee zijn steeds veelvouden van een van deze twee.

Daarnaast mogen ook lineaire combinaties en producten van deze drie soorten functies voorkomen. In principe zou men ook nog de sinus hyperbolicus en de cosinus hyperbolicus kunnen opnemen in deze lijst, maar dit zijn beiden lineaire combinaties van de reeds vermelde exponentiële functies.

De methode bestaat eruit alle mogelijke vormen van de functies van het rechterlid en al hun afgeleiden op te lijsten, en deze in een willekeurige lineaire combinatie op te nemen. Dit is dan de vooropgestelde particuliere oplossing. De coëfficiënten van de lineaire combinatie worden gevonden door deze vooropgestelde particuliere oplossing in de differentiaalvergelijking te plaatsen, en de termen te groeperen per soort functie. Dit resulteert in een lineair stelsel dat kan worden opgelost.

Voorbeelden van vooropgestelde particuliere oplossingen

Voorbeeld 1

Neem als rechterlid:

<math>f(x) \, = \, sin(3x) \! </math>

De termen in dit rechterlid en zijn mogelijke afgeleiden zijn allen veelvouden van:

<math> sin(3x) \quad ; \quad cos(3x) \! </math>

De vooropgestelde particuliere oplossing is dus:

<math>y_(x) \, = \, A\, sin(3x) \, +\, B\, cos(3x) \! </math>

Voorbeeld 2

Neem als rechterlid:

<math>f(x) \, = x \, sin(3x) \! </math>

De termen in dit rechterlid en zijn mogelijke afgeleiden zijn allen veelvouden van:

<math>x\, sin(3x) \quad ; \quad x\,cos(3x) \quad ; \quad sin(3x) \quad ; \quad cos(3x) \! </math>

De vooropgestelde particuliere oplossing is dus:

<math>y_(x) \, = \, A\, x \, sin(3x) \, + \, B\, x \, cos(3x) \, +\, C\, sin(3x) \, +\, D\, cos(3x) \! </math>

Voorbeeld 3

Neem als rechterlid:

<math>f(x) \, = x^2 \, e^{-2x} \! </math>

De termen in dit rechterlid en zijn mogelijke afgeleiden zijn allen veelvouden van:

<math>x^2 \, e^{-2x} \quad ; \quad x \, e^{-2x} \quad ; \quad e^{-2x} \! </math>

De vooropgestelde particuliere oplossing is dus:

<math>y_(x) \, = \, A\, x^2 \, e^{-2x} \, + \, \, B \, x e^{-2x} \, + \,C \, e^{-2x} \! </math>

Volledig voorbeeld

De differentiaalvergelijking:

<math>y \, + \, 4\,y' \, + \, 3 \, y \, = \, 52 \, sin(2x) \! </math>

heeft als algemene oplossing van de homogene vergelijking:

<math>y_h(x) \, = \ C_1 \, e^{-x} \, + \, C_2 \, e^{-3x} </math>

De vooropgestelde particuliere oplossing is, gezien de vorm van het rechterlid:

<math>y_p(x) \, = \, A \, sin(2x) \, + \, B \, cos(2x) \! </math>

waarbij A en B moeten bepaald worden. Door van deze particuliere oplossing de eerste en tweede afgeleide in te vullen in de volledige differentiaalvergelijking, en de termen in sin(2x) en in cos(2x) te groeperen vindt men:

<math>(-A \, - \, 8B) \, sin(2x) \, + \, (8A \, - \, B) \, cos(2x) \, = \, 52 \, sin(2x) \, + \, 0 \, cos(2x) \! </math>

Door te eisen dat het aantal sin(2x)-bijdragen en het aantal cos(2x)-bijdragen telkens links en rechts gelijk zijn, bekomt men het stelsel in A en B:

<math>A \, + \, 8B \, = \, -52 \! </math>

<math>8A \,- \, B \, = \,0 \! </math>

Met als oplossing:

<math>A \, = \, -4/5 \quad ; \quad B \, = \, -32/5 \! </math>

De gevraagde particuliere oplossing is bijgevolg:

<math>y_p(x) \, = \, -4/5 \, sin(2x) \, - \, 32/5 \, cos(2x) \! </math>

Belangrijke opmerking

Bij het vooropstellen van de vorm van de particuliere oplossing als een lineaire combinaties kan het zijn dat een of meerdere functies uit de particuliere oplossing reeds aanwezig zijn in de algemene homogene oplossing. In dat geval moeten dergelijke bijdragen in de vooropgestelde particuliere oplossing met een zo laag mogelijk macht van worden vermenigvuldigd tot wanneer de vorm niet meer voorkomt in de homogene oplossing.

Voorbeeld 1

De differentiaalvergelijking

<math>y \, + \, 4\,y' \, + \, 3 \, y \, = \, 52 \, e^{-3x} \! </math>

heeft als algemene oplossing van de homogene vergelijking:

<math>y_h(x) \, = \ C_1 \, e^{-x} \, + \, C_2 \, e^{-3x} \! </math>

De vooropgestelde particuliere oplossing is, gezien de vorm van het rechterlid:

<math>y_p(x) \, = \, A \, e^{-3x} \! </math>

Deze e-macht komt reeds voor in de homogene oplossing. De vooropgestelde particuliere oplossing wordt daarom genomen als:

<math>y_p(x) \, = \, A \, x \, e^{-3x} \! </math>

Voorbeeld 2

De differentiaalvergelijking

<math>y \, + \, 4 \, y \, = \, 8 \, sin(2x) \, + e^{-5x} \! </math>

heeft als algemene oplossing van de homogene vergelijking:

<math>y_h(x) \, = \ C_1 \, sin(2x) \, + \, C_2 \, cos(2x) \! </math>

De vooropgestelde particuliere oplossing is, gezien de vorm van het rechterlid:

<math>y_p(x) \, = \, A \, sin(2x) \, + \, B \, cos(2x) \, + \, C \, e^{-5x} \! </math>

De eerste twee bijdragen komen reeds voor in de homogene oplossing. Deze worden daarom vermenigvuldigd met x zodat de vooropgestelde particuliere oplossing wordt:

<math>y_p(x) \, = \, A \, x \, sin(2x) \, + \, B \, x \, cos(2x) \, + \, C \, e^{-5x} \! </math>

categorie:differentiaalvergelijking