Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed
Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Wiskundig bewijs: verschil tussen versies
Naar navigatie springen
Naar zoeken springen
(bron http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wiskundig_bewijs&oldid=23229471) |
k (spelfout) |
||
| (Een tussenliggende versie door dezelfde gebruiker niet weergegeven) | |||
| Regel 1: | Regel 1: | ||
In de [[wiskunde]] bestaat een '''bewijs''' uit het aantonen dat, gegeven bepaalde [[axioma]]'s, een bepaalde [[bewering (logica)|bewering]] [[waarheid|waar]] is | In de [[wiskunde]] bestaat een '''bewijs''' uit het aan de hand van regels van de [[logica (wetenschap)|logica]] aantonen dat, gegeven bepaalde [[axioma]]'s, een bepaalde [[bewering (logica)|bewering]] [[waarheid|waar]] is. | ||
Het bewezen resultaat is een [[stelling (wiskunde)|stelling]] of [[stelling (wiskunde)|theorema]]. Een eenvoudige stelling | Het bewezen resultaat is een [[stelling (wiskunde)|stelling]] of [[stelling (wiskunde)|theorema]]. Een eenvoudige stelling -die alleen als hulpmiddel voor het bewijzen van een andere stelling -wordt een [[lemma]] of [[hulpstelling]] genoemd. Wanneer een stelling bewezen is, kan hiermee het bouwwerk van de wiskunde verder worden uitgebouwd. | ||
Wanneer een stelling bewezen is, kan hiermee het bouwwerk van de wiskunde verder worden uitgebouwd. | |||
==Technieken== | |||
Enkele gebruikelijke bewijsvoeringstechnieken zijn: | Enkele gebruikelijke bewijsvoeringstechnieken zijn: | ||
* ''Direct bewijs'': wanneer de stelling bewezen wordt met gebruik van alleen de axioma's, de logica en eerder op dezelfde wijze bewezen stellingen. | * ''Direct bewijs'': wanneer de stelling bewezen wordt met gebruik van alleen de axioma's, de logica en eerder op dezelfde wijze bewezen stellingen. | ||
* ''[[Inductie (wiskunde)|Bewijs door inductie]]'': wanneer een 'basis geval of 0-geval bewezen is | * ''[[Inductie (wiskunde)|Bewijs door inductie]]'': wanneer een 'basis geval of 0-geval bewezen is en er een ''inductie-regel'' aangetoond kan worden. Wordt vaak gebruikt voor reeksen. | ||
* ''[[Reductio ad absurdum|Bewijs uit het ongerijmde]]'': Bij deze redeneerwijze wordt het omgekeerde van de stelling aangenomen, en wordt aangetoond dat dit tot een [[tegenspraak]] leidt. | * ''[[Reductio ad absurdum|Bewijs uit het ongerijmde]]'': Bij deze redeneerwijze wordt het omgekeerde van de stelling aangenomen, en wordt aangetoond dat dit tot een [[tegenspraak]] leidt. | ||
* ''[[Bewijs door contrapositie]]'': | * ''[[Bewijs door contrapositie]]'': Een bewering ''als A dan B'' wordt bewezen via de [[dan en slechts dan als|equivalente]] bewering ''als niet B dan niet A''. | ||
* ''[[Bewijs door constructie]]'': het aantonen dat iets bestaat door er een [[voorbeeld]] van te construeren. | * ''[[Bewijs door constructie]]'': het aantonen dat iets bestaat door er een [[voorbeeld]] van te construeren. | ||
Een [[bewering (logica)|bewering]] | Een [[bewering (logica)|bewering]] waarvan men wel vermoedt dat deze waar is maar die nog niet bewezen is, wordt een [[vermoeden]] genoemd. | ||
Soms kan aangetoond worden dat een stelling niet bewezen kan worden uitgaande van een bepaalde stelsel van axioma's. Een voorbeeld hiervan is de [[continuümhypothese]]. In de meeste axiomastelsels zijn er beweringen die noch bewezen noch ontkracht kunnen worden, zoals volgt uit de [[Onvolledigheidsstelling|onvolledigheidsstelling van Gödel]]. | Soms kan aangetoond worden dat een stelling niet bewezen kan worden uitgaande van een bepaalde stelsel van axioma's. Een voorbeeld hiervan is de [[continuümhypothese]]. In de meeste axiomastelsels zijn er beweringen die noch bewezen noch ontkracht kunnen worden, zoals volgt uit de [[Onvolledigheidsstelling|onvolledigheidsstelling van Gödel]]. | ||
Huidige versie van 18 jul 2011 om 18:14
In de wiskunde bestaat een bewijs uit het aan de hand van regels van de logica aantonen dat, gegeven bepaalde axioma's, een bepaalde bewering waar is.
Het bewezen resultaat is een stelling of theorema. Een eenvoudige stelling -die alleen als hulpmiddel voor het bewijzen van een andere stelling -wordt een lemma of hulpstelling genoemd. Wanneer een stelling bewezen is, kan hiermee het bouwwerk van de wiskunde verder worden uitgebouwd.
Technieken
Enkele gebruikelijke bewijsvoeringstechnieken zijn:
- Direct bewijs: wanneer de stelling bewezen wordt met gebruik van alleen de axioma's, de logica en eerder op dezelfde wijze bewezen stellingen.
- Bewijs door inductie: wanneer een 'basis geval of 0-geval bewezen is en er een inductie-regel aangetoond kan worden. Wordt vaak gebruikt voor reeksen.
- Bewijs uit het ongerijmde: Bij deze redeneerwijze wordt het omgekeerde van de stelling aangenomen, en wordt aangetoond dat dit tot een tegenspraak leidt.
- Bewijs door contrapositie: Een bewering als A dan B wordt bewezen via de equivalente bewering als niet B dan niet A.
- Bewijs door constructie: het aantonen dat iets bestaat door er een voorbeeld van te construeren.
Een bewering waarvan men wel vermoedt dat deze waar is maar die nog niet bewezen is, wordt een vermoeden genoemd.
Soms kan aangetoond worden dat een stelling niet bewezen kan worden uitgaande van een bepaalde stelsel van axioma's. Een voorbeeld hiervan is de continuümhypothese. In de meeste axiomastelsels zijn er beweringen die noch bewezen noch ontkracht kunnen worden, zoals volgt uit de onvolledigheidsstelling van Gödel.