Gelijkzwevende stemming

De gelijkzwevende stemming of evenredig zwevende temperatuur is, voor instrumenten met vaste stemming, en voor de in het Westen gebruikelijkste stemming in 12 tonen per octaaf, een specifieke keuze voor de afstanden tussen die tonen. Het octaaf met zijn frequentieverhouding van 2 wordt hierbij in 12 precies even grote afstanden verdeeld, of anders gezegd: de verhouding van de frequenties van twee opeenvolgende halve tonen is steeds precies dezelfde (en is dus gelijk aan¹²√2 , de twaalfdemachtswortel van twee). Behalve voor een octaaf zijn de intervallen dan echter nooit gelijk aan de rein klinkende verhoudingen. Deze laatste zijn verhoudingen van kleine natuurlijke getallen (zoals 3/2 voor een kwint en 5/4 voor een grote terts). Niet rein betekent vals. Dat is dan voor gelijknamige intervallen wel altijd even vals, vandaar de naam evenredig zwevende stemming. Gelukkig is die afwijking voor de kwint – het belangrijkste interval na het octaaf – erg beperkt, althans in een systeem met 12 tonen. Voordeel van deze stemming is, dat ze even (weinig) vals blijft klinken als er op een andere toonsoort wordt overgegaan. Kort samengevat is het een compromisoplossing om in alle twaalf toonsoorten even (weinig) vals te klinken.

Geschiedenis

De eerste van wie bekend is dat hij zich met berekeningen betreffende de gelijkzwevende stemming bezighield en daarover in 1584 schreef, was Chu Tsai-Yu (朱載堉) ten tijde van de Mingdynastie. Vincenzo Galilei (de vader van Galileo Galilei) bepleitte in 1581 al een dergelijke stemming. Ook Simon Stevin hield zich bezig met berekeningen aan intervallen van onder meer de gelijkzwevende stemming, maar het duurde tot het begin van de 20e eeuw voor pianos gebouwd werden met deze stemming.

De reeks composities Das wohltemperierte Klavier van Johann Sebastian Bach is bedoeld voor de welgetempereerde stemming zoals die mogelijk was door het werk van de Duitse organist en muziektheoreticus Andreas Werckmeister. Dit is niet hetzelfde als de nu gebruikelijke gelijkzwevende stemming.

Grootte van intervallen

Doordat de frequentieverhouding van een octaaf 2 is, overeenkomend met 1200 cent, wordt de verhouding van een halve toonafstand gelijk aan ¹²√2  of 100 cent. Dit geeft de volgende frequentieverhoudingen voor gelijkzwevende stemming, uitgaande van c als grondtoon, vergeleken met de reine stemming:

toon	interval t.o.v. grondtoon c		frequentieverhouding t.o.v. grondtoon c			aantal cents meer dan grondtoon c			afwijking
			gelijkzwevend	rein		gelijkzwevend	rein
c	prime		2  0 /12 = 1	1 /1 = 1		0	0		0
des	kleine secunde		2  1 /12 ≈ 1,059463094	16 /15 ≈ 1,0667		100	112		-0,68%
d	grote secunde		2  2 /12 ≈ 1,122462048	9 /8 = 1,125		200	204		-0,23%
es	kleine terts		2  3 /12 ≈ 1,189207115	6 /5 = 1,2		300	316		-0,91%
e	grote terts		2  4 /12 ≈ 1,25992105	5 /4 = 1,25		400	386		+0,79%
f	reine kwart		2  5 /12 ≈ 1,334839854	4 /3 ≈ 1,3333		500	498		+0,11%
fis	overmatige kwart		2  6 /12 ≈ 1,414213562	7 /5 = 1,4		600	583		+1,02%
g	reine kwint		2  7 /12 ≈ 1,498307077	3 /2 = 1,5		700	702		-0,11%
as	kleine sext		2  8 /12 ≈ 1,587401052	8 /5 = 1,6		800	814		-0,79%
a	grote sext		2  9 /12 ≈ 1,681792831	5 /3 ≈ 1,6667		900	884		+0,90%
bes	kleine septiem		2  10 /12 ≈ 1,781797436	16 /9 ≈ 1,7778		1000	996		+0,23%
b	grote septiem		2  11 /12 ≈ 1,887748625	15 /8 = 1,875		1100	1088		+0,68%
c′	octaaf		2  12 /12 = 2	2 /1 = 2		1200	1200		0

Als f₀ de frequentie van de grondtoon is, berekent men de frequentie f_n van de toon op n halve toonafstanden als;

f_n = 2 ^n /12 f₀

Om in de tegenwoordig gebruikelijke stemming een centrale a′ van 440 Hz (deze frequentie heeft verschillende waarden gehad) te krijgen, moet de A in het laagst bruikbare octaaf ("A) dus een frequentie van 27,5 Hz hebben, en de laagste C ("C) daarmee 16,3516 Hz zijn.

Alternatieve gelijkzwevende toonschalen

Soms wordt een octaaf verdeeld in meer dan 12 gelijke delen:

• 19-toonsverdeling (19 tonen gelijkzwevend)
• kwarttoonverdeling (24 tonen gelijkzwevend)
• 31-toonsverdeling (31 tonen gelijkzwevend) (ontwikkeld door Christiaan Huygens)

Zie ook

• Breukgetal
• Harmonische boventoonreeks
• Lijst van intervallen
• Microtonale muziek
• Stemming (muziek)
• Toonstelsel.

Externe link

• Geluidsfragment met verschil in zuiverheid tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend
• Pianofragment met verschil in toonhoogte tussen Gelijkzwevend en Rein

Toonstelsels

Gebaseerd op rationale getallen: Reine stemming · Pythagoras · 43-toonsschaal · Bohlen-Pierce Gelijkzwevend: 12-toonsverdeling · 19–toons · 22–toons · 24–toons · 31–toons · 34–toons · 53–toons · 72–toons · 88–toons . 200-toons Niet-gelijkzwevend: Middentoonstemming (Kwart-comma · Lucy stemming · Septimale · Silbermann-Sorge-Stemming) · Schismatisch · Miracle Ongelijkmatig: Getempereerd · Kirnberger II en III · Off-key