Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Speciale relativiteitstheorie
De speciale relativiteitstheorie, in 1905 gepubliceerd door Albert Einstein, is de bewegingsleer (kinematica) voor het geval dat snelheden niet zeer klein zijn tov de lichtsnelheid. Volgens deze theorie is tijd relatief, dwz het tijdstip van een gebeurtenis is niet voor elke waarnemer gelijk maar afhankelijk van zijn snelheid tov de gebeurtenis.
Einstein gaat uit van twee postulaten:
- Elke waarnemer die zich eenparig (niet versneld) beweegt ondergaat dezelfde natuurwetten.
- De lichtsnelheid c in vacuüm is onafhankelijk van de snelheid van de bron.
Laat twee waarnemers W en W' eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V. Laat op enig moment de oorsprongen van hun coordinaatsystemen met gelijkgerichte assen x,y,z en x',y',z' samenvallen en synchonizeer dan hun klokken t=t'=0. Ontsteek op dat moment een lichtpuls in de oorsprong. Volgens de postulaten hebben de vergelijkingen van de lichtgolf van die puls voor beide waarnemers de zelfde bolvorm
- x²+y²+z² = c²t² en x'²+y'²+z'² = c²t'²
met straal ct en ct' en middelpunten in hun oorsprongen. Beide waarnemers, die zich steeds verder van elkaar verwijderen, zijn in de oorsprong van hun coordinaatsystemen in het middelpunt van dezelfde bolgolf. Hoe kan dat?
De oplossing van deze paradox is het vinden van de coordinatentransformatie. De transformatie van de y en z coordinaten is eenvoudig y=y' en z=z', maar die tussen x',t' en x,t zodanig dat
- x²-c²t² = x'²-c²t'² = 0
is het probleem. De niet-relativistische translatie x'=x-Vt en t'=t is niet de oplossing. Dan is x'² niet gelijk aan c²t'² zodat de oorsprong x'=0 niet het middelpunt van de golf is.
De relativistische transformatie heeft een ingewikkelder vorm
- x' = g(x-Vt) en t' = at+bx/c
met dimensieloze factoren g, a en b. Invullen in de golf vergeljkingen geeft
- x²-c²t² = g²(x-Vt)²-c²(at+bx/c)² = (g²-b²)x²-2(g²V+abc)xt+(g²V²-a²c²)t² = 0.
Dit geldt voor alle x en t dus
- g²-b² = 1, a²c²-g²V² = c² en g²V+abc = 0,
drie vergelijkingen voor g, a en b. Volgens de derde vergelijking is g⁴V²=a²b²c². Substitueer a² en b² volgens de eerste twee vergelijkingen. De g⁴V² term valt er uit en het resultaat is:
- g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.
Met de gangbare notatie β=V/c en γ=g is de transformatie, genoemd naar Hendrik Lorentz,
- x' = γ(x-βct), t' = γ(t-βx/c) met γ = 1/√(1-β²).
Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.
Robert B Leighton, Principles of modern physics, ch.1.