Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie is in de natuurkunde de uitbreiding die Albert Einstein in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor versnelde beweging in een zwaartekrachtveld. Hij gebruikte daarbij een wiskundig model ruimtetijd dat de drie dimensies van ruimte en de ene dimensie van tijd samenvoegt tot een vierdimensionaal coordinatenstelsel. Dit model had Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - geïntroduceerd in 1908.

De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, zie speciale relativiteitstheorie. Verschillende waarnemers zijn het oneens over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, interval genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert.

Δs² = c²Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)

Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of eigentijd Δτ = Δs/c.

De volgende beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, The classical theory of fields. De § nummers verwijzen naar de 4de editie.

§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld word.

Metrische tensor

§82. De coordinaten ct,x,y,z worden genoteerd als x₀,x₁,x₂,x₃. Bij coordinatentransformatie naar een versneld systeem is een interval in het algemeen alleen te definiëren voor infinitesimaal gescheiden gebeurtenissen en heeft dan de vorm

ds² = g_ikdx_idx_k

waarbij gesommeerd wordt over herhaalde indices i en k van 0 tot 3. Dus

ds² = g₀₀dx₀dx₀+g₀₁dx₀dx₁+g₀₂dx₀dx₂+g₀₃dx₀dx₃+g₁₀dx₁dx₀+g₁₁dx₁dx₁+ ... g₃₃dx₃dx₃

De matrix elementen g_ik zijn functies van de coordinaten x_i en bepalen de ruimtetijd metriek. Deze matrix heet de metrische tensor. Het interval ds² bevat 16 termen waarvan 6 dubbel omdat g_ik=g_ki.

Bij constant snelheidsverschil tussen waarnemers, is

Δs² = g_ikΔx_iΔx_k met g₀₀=1, g₁₁=g₂₂=g₃₃= -1, g_ik=0 voor i≠k

invariant omdat voor de Δx_i de Lorentz transformatie geldt.

§85,86. Bij versnelde beweging tussen waarnemers is het infinitesimale interval ds² invariant omdat de functies g_ik aan de voorwaarde voldoen dat de som van hun bijdragen aan ds² nul is. Omdat de g_ik niet constant zijn maar functies van x_l, verandert gaande van x_l naar x_l+dx_l ook het coordinatenstelsel. Elke bijdrage g_ikdx_l is niet (∂g_ik/∂x_l)dx_l maar gecorrigeerd met de covariante afgeleide Dg_ik/dx_l.

Dg_ik = (∂g_ik/∂x_l - Γ^m_ilg_mk - Γ^m_klg_im)dx_l

met de Γ^l_ik symbolen, genoemd naar Elwin Christoffel.

Γⁱ_kl = (g^im/2)(∂g_mk/∂x_l + ∂g_ml/∂x_k - ∂g_kl/∂x_m)

De matrix g^im is de inverse van g_im zodat g_ikg^kl = δ^lig_im met de eenheidsmatrix δ^li. De tensors g_im en g^im verschillen wiskundig maar beschrijven dezelfde natuurkundige ruimtekromming.

§83. Bij constant snelheidsverschil tussen waarnemers zijn de de componenten van g_im en g^im hetzelfde, en constant dus de Γⁱ_kl nul.

Constante versnelling

§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle g_ik onafhankelijk van de tijd x₀ en g₀₁=g₀₂=g₀₃=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte.

τ = (x₀/c)√g₀₀

De snelheid van een massa (bijv een kogel) in dit systeem is, gemeten in eigentijd,

v = dl/dτ met dl² = -g_αβdx_αdx_β gesommeerd over α en β van 1 tot 3.

De energie van de massa is behouden:

E = 𝛾mc²√g₀₀ met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Als v veel kleiner is dan c, en de zwaartekracht zwak, is g₀₀ = 1+2U/c² en

E = mc²+½mv²+mU

waarin U de potentiaal van het zwaartekracht veld is.

Energie-impuls tensor

§32,33. De energie-impuls tensor T^ik is een symmetrische 4x4 matrix met componenten (α en β = 1,2,3)

T⁰⁰ is de energiedichtheid (ook electromagnetisch)

T^0α = T^α0 is de α component van de impulsdichtheid (ook de Poynting vector)

T^αβ is de flux van de α component van de impuls door het oppervlak van constante β (ook de Maxwell spanningtensor), voor α≠β is dat de schuifspanning en voor α=β is het de druk

Een andere vorm van de energie-impuls tensor is

T_ik = T^lmg_ilg_km met sommatie over herhaalde indices l en m van 0 tot 3

§83. Beide vormen van de tensor beschrijven hetzelfde 4-dimensionale energie-impuls veld. Maar coordinatentransformatie van hun componenten verschilt:

T^,ik = (∂x'_i/∂x_l)(∂x'_k/∂x_m)T^lm

T'_ik = (∂x_i/∂x'_l)(∂x_k/∂x'_m)T_lm

Deze tensor vormen heten contravariant en covariant en worden genoteerd met respectievelijk superscripts en subscripts.

Einstein vergelijkingen

§95. Einstein leidde partiële differentiaalvergelijkingen af voor zwaartekracht theorie geldig als snelheden niet veel kleiner zijn dan c, waardoor de theorie van Newton niet meer geldt.

De Einstein vergelijkingen bepalen de ruimtekromming tensor R_ik als functie van de energie-impuls tensor T_ik.

Rik = (8πG/c⁴)(Tik - gikT/2), T=Tii

G=6,674 x 10⁻¹¹ m³ s⁻² kg⁻¹ is de Newtonse gravitatie constante. De ruimtekromming tensor (dimensie m^-2) kan op andere manieren geschreven worden, ook als functie van de metrische tensor met Christoffel symbolen

R_ik = ∂Γ^l_ik/∂x_l - ∂Γ^l_il/∂x_k + Γ^l_ikΓ^m_lm - Γ^m_ilΓ^l_km

§99. Als snelheden veel kleiner zijn dan c, en de zwaartekracht zwak, is g₀₀ = 1+2U/c² met de zwaartekracht potentiaal U. Van T_ik resteert alleen de tijd component

T⁰₀ = μc² met massadichtheid μ,

alle andere componenten zijn te verwaarlozen. Ook T=μc². Van R_ik blijft ook alleen

R₀₀ = (4πG/c²)μ

over. De Einstein vergelijkingen zijn dan

ΔU = 4πGμ met de Laplace operator Δ = ∂²/∂x_α∂x_α

Dit is de niet-relativistische vergelijking van de zwaartekracht potentiaal (analoog aan de vergelijking van de elektrische potentiaal van ladingsdichtheid).

Schwarzschild oplossing

§100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ

ds² = (1-r_g/r)c²dt² - r²(sin²θ dφ²+dθ²) - dr²/(1-r_g/r)

waarin r_g=2GM/c². Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen in de ruimte buiten de materie die de zwaartekracht veroorzaakt, dus waar R_ik=0.

§101. Van de Zon is de gravitatie straal r_g = 3 km en de straal r = 7.10⁵ km. Voor planeten is de relativistische correctie op hun ellips banen zeer gering vergeleken met Newtons theorie omdat hun snelheid veel kleiner is dan c. Voor Mercurius is deze correctie 43" per eeuw.

§102. In de Schwarzschild metriek gaat g_tt naar nul en g_rr naar oneindig als r=r_g. Dit betekent dat een voldoende grote massa niet in evenwicht kan blijven en implodeert tot een zwart gat. Een ster die veel zwaarder is dan de Zon, kan als alle waterstof gefuseerd is instorten tot de straal r de gravitatie straal r_g nadert, en dan een zwart gat vormen. De ster concentreert alle massa in het centrum in eindige eigentijd, en straalt niets meer uit. In de omgeving werkt alleen zijn zwaartekracht.

Zwaartekracht golven

§107. Sterren die zich versneld bewegen tov elkaar veranderen hun gravitatieveld. Volgens Newton is die verandering instantaan overal in de ruimte, maar volgens Einstein plant die zich niet oneindig snel maar met de lichtsnelheid voort als een golf. Zwaartekracht golven zijn een verstoring (rimpel) van een zwaartekrachtveld, dus van de metrische tensor. Gravitatiegolven zijn transversaal.

§110. Twee massa's die om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien, stralen zwaartekrachtgolven uit. Van twee dicht om elkaar draaiende zwarte gaten die daardoor energie verloren en fuseerden, is de golf in 2016 gemeten op Aarde.

Friedmann oplossing

§111, 112. Alexander Friedmann vond in 1922 een oplossing van de Einsteinvergelijkingen voor een model van het universum waarin materie niet geconcentreerd is in sterren maar als gas gelijkmatig verdeeld is. De oplossing is singulier: het universum begint met oneidige massadichtheid en expandeert.

Het interval in dit model van het universum is

ds² = c²dt² - dr²/(1-r²/a²) - r²(sin²θ dφ²+dθ²)

in bolcoordinaten. De parameter a is de kromtestraal van het universum die groeit van nul tot een maximum

a_max = 4GM/3πc²

en dan weer afneemt tot nul. M is de totale massa in het universum. De tijdsduur van dit proces is πa_max/c.

Het gekromde universum bevat alle ruimte in een eindig volume (en heeft dus geen grenzen met omringende ruimte).

V = 2π²a³

(Dat is niet visueel voorstelbaar, maar het beeld van een analoge tweedimensionale ruimte helpt: het oppervlak van een bol is gekromd, het heeft geen grenzen en het is eindig; eigenschappen die een driedimensionale ruimte ook kan hebben.) V verschilt van het volume (4/3)πa³ van een bol met straal a die begrensd is in omringende ruimte.

§113. Friedmann vond ook in 1924 een oplossing met krommming a² die van nul steeds meer negatief wordt. Er is ook de oplossing met oneindige kromtestraal a, dus de niet-gekromde ruimte. In deze oplossingen is het volume van het universum oneindig. Het is niet bekend of het universum eindig of oneindig is, massa M en volume V zijn onbekend omdat maar een klein deel van het universum op Aarde waarneembaar is.

Oerknal

§114. De expansie van het universum werd bevestigd toen Edwin Hubble in 1929 de roodverschuiving van de spectra van verre sterrenstelsels publiceerde. Hij vond dat deze sterren zich verwijderen met een snelheid v evenredig met hun afstand l

v = Hl, H = 7.10^-11 per jaar

H is de Hubble constante. 1/H is de ouderdom van het universum, 14 miljard jaar.

De expansie begon niet op een tijdstip ergens in de ruimte. Met de oerknal ontstond tijd en ruimte. Volgens Stephen Hawking ontstond toen ook de positieve energie van elementaire deeltjes en de evengrote negatieve energie van zwaartekracht (ruimtekromming). Naar een bevredigende verklaring wordt nog gezocht in een combinatie van quantummechanica en relativiteitstheorie tot een quantumveldentheorie. Zie ook Oerknal.