Gebruiker:Franciscus/kladblok 2

Over het minimum oppervlak van een kegel

Wat merk je op, als je op een veld in Zeeland - vlakbij de Oosterschelde - een aantal kegelvormige, stroachtige gewassen aantreft, afgedekt met zeildoek? De een zal er even naar kijken, en daarna gewoon verder lopen. De ander zal wat meer belangstelling tonen en wat meer daar van willen weten.

De gewassen bleken bloemzaden te zijn, die aan de lucht worden gedroogd. Het is een oude, maar nog steeds efficiënte manier van drogen.
Al kijkend naar deze opstellingen, kwam de herinnering aan een onderwerp naar boven, waar de schrijver van dit essay ooit een artikel over maakte, namelijk dat een kegel een zeer bijzondere eigenschap bezit.
Het blijkt namelijk, dat bij het groter of kleiner worden van de straal R – bij een gegeven inhoud V - niet alleen het oppervlak A groter of kleiner wordt, maar dat ook een kleinste oppervlak aanwezig is, of met andere woorden: Het oppervlak bereikt - bij een gelijkblijvende inhoud - een limiet bij wijziging van de straal en de hoogte.
Deze stelling vraag natuurlijk om een nadere toelichting.

Oppervlak en inhoud van de kegel

Een Kegel is een ruimtelijke figuur, en bestaat uit een plat en een gekromd vlak. Het platte vlak is de bodem in de vorm van een cirkel. Het gekromde vlak is de mantel van de kegel.
Voor de berekening van de inhoud V en het oppervlak A moeten de hoogte h en de straal R bekend zijn.
De afmetingen van kegelvormige opstellingen op het veld waren ongeveer als volgt:
R = 0,5 m en h = 0,9 m.
( Om het rekenen met al te grote of te kleine getallen te vermijden, worden de meters verder vervangen door decimeters: 1 dm = 0,1 m = 10 ^-1 m )

De inhoud V en het oppervlak A van de kegel worden uitgedrukt in de volgende formules:

Minimum oppervlak

Zoals in de inleiding al werd opgemerkt, blijkt bij een kegel bij een constant blijvende inhoud V en variëren van de straal R een kleinste oppervlak A tevoorschijn te komen. Als dit wordt uitgevoerd bij de kegelvormige constructies op het veld - door de oorspronkelijke straal R = 5 dm van de kegel te variëren - dan ontstaan er steeds andere oppervlakken, waaronder ook een minimum oppervlak. Dat leidt tot het inzicht, dat van alle kegels met inhoud V en ook deze met V = 235,6 dm ³ er maar één kegel voldoet aan deze eigenschap.
Voor het berekenen van het wisselende oppervlak A is het noodzakelijk de daarbij behorende hoogte h te weten. Deze kan worden berekend uit de inhoud V , namelijk:

In bijgaande tabel zijn de resultaten van de bijbehorende berekeningen opgenomen.

Straal R ( dm )	Hoogte h ( dm )	Oppervlak A ( dm 2 )
1	225	710
1,5	100	491
2	56,24	366
2,5	36,3	305
3	25,0	265,6
3,5	18,36	243,98
4	14,06	234,0
4,5	11,11	233
5	9,03	240,6
5,5	7,437	254,8
6	6,27	276,7
6,5	5,325	304
7	4,61	338,2
7,5	4,0	377
8	3,53	420,83
8,5	3,1139	468,7
9	2,7775	521
9,5	2,493	577
10	2,2498	636
10,5	2,04	700

Bij bestudering van de resultaten van deze berekeningen wordt het al snel duidelijk, dat het kleinste oppervlak A aanwezig is bij een straal R = 4,5 dm.
In de grafische voorstelling komt dit fenomeen nog duidelijker naar voren.

Uit de grafiek en uit de tabel blijkt duidelijk, dat:

• naarmate R groter wordt dan de gegeven afmeting, de kegel steeds meer naar een platte schijf gaat naderen
• naarmate h groter wordt dan de gegeven afmeting, de kegel steeds meer naar een slanke cilinder gaat naderen.

Nadere beschouwing

Uit de berekeningen kan worden vastgesteld, dat bij de kegelvormige opstellingen op het land ongeveer het minimum oppervlak aanwezig is. Voor het drogen van het gewas lijkt dit minder geschikt te zijn. Aan de andere kant is het ook niet eenvoudig hier van af te wijken, hoewel met een eenvoudige wijziging al een redelijke verbetering zal optreden. Als bijvoorbeeld van een straal R = 5 dm wordt overgegaan naar een straal R = 7 dm, dan neemt het oppervlak A al met ca 40% toe en bij R = 9 dm leidt dit al tot meer dan een verdubbeling. Hetzelfde geldt voor verkleining van de straal R tot bijvoorbeeld 2,5 dm. Dit levert een bijna 30% groter oppervlak A op. Deze optie heeft bovendien nog het voordeel, dat bij regen het gewas wat minder nat zal worden.

Nawoord

De simpele waarneming van een aantal kegelvormige, stroachtige gewassen op een veld heeft geleid tot een nadere beschouwing, waarbij gebleken is, dat bij een constante inhoud V en bij wijziging van de straal R, het oppervlak A groter of kleiner wordt. Het blijkt verder dat dit stijgen en dalen van het oppervlak A uitmondt in een minimum oppervlak, of anders geformuleerd:

Het oppervlak A van een kegel bereikt bij een gelijkblijvende inhoud V

een limiet bij wijziging van de straal R en de hoogte h

Over het minimum oppervlak van een cilinder

In het essay over het minimum oppervlak van een kegel, wordt aangetoond, dat bij het groter of kleiner worden van de straal
R – bij een gegeven inhoud V - niet alleen het oppervlak A van de kegel groter of kleiner wordt, maar dat er ook een kleinste oppervlak aanwezig is.
Bij een cilinder blijkt bij een gegeven inhoud V ook een kleinste oppervlak A aanwezig te zijn, of met andere woorden:

• Het oppervlak A van een cilinder bereikt - bij een gelijkblijvende inhoud V - een limiet bij wijziging van de straal R en de hoogte h.

Deze stelling zal hierna verder worden onderzocht.

Cilinder

Een cilinder bestaat uit een gebogen oppervlak of cilindermantel, een grondvlak en een bovenvlak. Het bovenvlak is gelijk aan het grondvlak. Bij de berekening van het oppervlak A en de inhoud V, komt het getal π aan de orde.
De algemeen gebruikte formules voor het oppervlak A en de inhoud V zijn als volgt:

• Voor de uiteenzetting over her minimum oppervlak, worden deze formules iets anders genoteerd, door namelijk uit te gaan van de diameter d = 2R in plaats van de straal R:

Standaardconservenblik

We zullen nu gaan onderzoeken waar het minimumoppervlak A_min bij de cilinder ligt. Wiskundig kan dit allemaal op eenvoudige wijze worden gedaan met limieten, maar dan mis je tamelijk snel het inzicht van wat er gaande is. Om die reden zullen we hier dan ook met een rekenvoorbeeld uit de praktijk werken, namelijk een standaardconservenblik, zoals we die in de schrappen van de supermarkt zien staan.
Een conservenblik heeft uitwendig de vorm van een cilinder, waaruit als het ware een kleinere cilinder is uitgehaald, waardoor er een holle cilinder overblijft.
De meest voorkomende conservenblikken, gevuld met bruine bonen, sperciebonen, erwtensoep, of een ander product, zijn blikken met een diameter van 10 cm en met een hoogte van 11 cm, zodat de inhoud hiervan - rekening houdend met de materiaaldikte van 0,25 mm circa 0,85 liter is. Op de wikkel van veel blikken staat, dat er 0,8 of 0,83 liter inzit, zodat de blikken niet tot de rand gevuld zijn. Dat is ook wel nodig, om het uitzetten van het product op te kunnen vangen. Verder moet er natuurlijk voor worden gezorgd, dat de door de spreiding bij vulproces niet te weinig in zo’n blik terecht komt. Dat houdt dus in, dat er meestal iets meer van het product in het blik wordt gedaan, om zeker te zijn, dat de afnemer tevreden is.

Minimum en maximum

Het ligt natuurlijk voor de hand, dat de fabrikant - die grote hoeveelheden standaardblikken moet gaan vullen - graag wil, dat de stuksprijs hiervan zo laag mogelijk is. Het standaardblik moet dus liefst een zo klein mogelijk oppervlak hebben, want dan wordt er zo min mogelijk materiaal gebruikt. Ook bij het transport van de gevulde blikken moet natuurlijk zo min mogelijk ruimte worden ingenomen, zoals bepaald door de afmetingen van de tray en/of het pallet waarmee blikken worden getransporteerd.
Wat betreft het oppervlak van het conservenblik is hier dus sprake van een minimum. Wat betreft de inhoud van het blik is hier sprake van een maximum, namelijk 0,85 liter. Deze twee uitersten zullen in één product verenigd moeten worden. Rekening houdend met een constante inhoud V = 850 cm³, kan bij elke diameter d en de daaruit af te leiden hoogte h het oppervlak A van de holle cilinder worden berekend.

Minimum oppervlak

Als we om te beginnen eens twee uitersten nemen, bijvoorbeeld een cilinder met een diameter d₁ = 20 cm en een cilinder met een diameter d₂ = 5 cm, dan volgt uit de eerder getoonde formules, dat bij het eerste blik de hoogte h₁ = 2,7 cm en bij het andere blik h₂ ≈ 43 cm. Dat zijn nogal uitzonderlijke blikken; een laag, nogal plat blik alleen geschikt voor het opbergen van crêpes, en een hoog, uitermate slank blik, alleen geschikt voor het inblikken van asperges. De oppervlakken van deze twee blikken zijn A₁ = 719 cm² en A₂ = 798 cm².
Ons gevoel zegt, dat we wel ergens halverwege d₁ = 20 cm en d₂ = 5 cm, moeten uitkomen.
Steeds uitgaande van de inhoud V van 0,85 liter, kan bij aanname van een aantal diameters in de buurt van de 10 cm steeds het oppervlak A worden berekend. We zien dan vanzelf wel waar we uitkomen. In bijgaande tabel zijn de uitkomsten netjes gerangschikt.

Diameter d ( cm )	Hoogte h ( cm )	Oppervlak A ( cm 2 )
5	43,3	719
6	30	623
7	22,5	563
8	17,2	525
9	13,6	505
10	11	497
10,27	10,27	496
11	9,1	499
12	7,6	509
13	6,5	527
14	5,6	551
15	4,9	580
16	4,3	614
17	3,75	654
18	3,34	698
19	2,99	746
20	2,7	798

Nadere beschouwing

Het kleinste oppervlak A = 496 cm² - het minimum oppervlak
dus – blijkt aanwezig te zijn, als de diameter d gelijk is aan de hoogte h. Dit is het geval als h = d = 10,27 cm, zoals ook bijgaande grafiek laat zien.
In de praktijk blijkt het conservenblik dus iets af te wijken van de ideale afmetingen. De diameter d van een standaardconservenblik is 10 cm en de hoogte h is 11 cm, maar dit heeft - zoals uit de tabel en uit de grafiek blijkt - nauwelijks invloed op het blikoppervlak A, zodat toch volledig wordt voldaan aan de gestelde eis met betrekking tot het materiaalverbruik en de kosten.

Nawoord

De simpele waarneming van een in elke supermarkt te vinden standaardconservenblik heeft geleid tot een nadere beschouwing van de cilinder, waarbij gebleken is, dat bij een constante inhoud V en bij wijziging van de diameter d, het oppervlak A groter of kleiner wordt. Het blijkt verder dat dit stijgen en dalen van het oppervlak A uitmondt in een minimum oppervlak, en wel als de hoogte h = diameter d, of anders geformuleerd:

• Het oppervlak A van een cilinder bereikt bij een gelijkblijvende inhoud V

een limiet bij wijziging van de straal d en de hoogte h.

Deze limiet wordt bereikt als de straal d en de hoogte h gelijk aan elkaar zijn.