Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed

Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.

  • Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
  • Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
rel=nofollow

Karakteristiek: verschil tussen versies

Uit Wikisage
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
(Karakteristiek (doorverwijzing).)
 
(http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Karakteristiek&oldid=23130385)
Regel 1: Regel 1:
#Redirect[[kenmerk]]
In de [[abstracte algebra]] is de '''karakteristiek''' van een [[ring (wiskunde)|ring]] ''R'' het kleinste aantal keren dat men in een [[sommatie|som]] gebruik moet maken van het multiplicatieve [[neutraal element|identiteitselement]] (1) om het [[additieve identiteit]]selement (0) te verkrijgen; van de ring zegt men dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.
 
==Formele definitie==
Zij ''R'' een ring (niet noodzakelijk commutatief) met [[neutraal element]] 1<sub>''R''</sub> voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van ''R'', genoteerd char(''R''), is het kleinste [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]] getal ''n'' zodanig dat
:<math>\begin{matrix}\underbrace{1_R+1_R+\ldots+1_R}&=&0_R\\n\ \mathrm{maal} \end{matrix}</math>
als een dergelijk getal ''n'' bestaat, en anders 0.
 
==Voorbeelden==
De klassieke getallenverzamelingen <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{C}</math> hebben karakteristiek 0. Zo ook de [[p-adisch getal|p-adische getallen]].
 
Als <math>R</math> een [[integriteitsgebied]] is, dat wil zeggen dat er geen elementen <math>a,b\in R\setminus\{0\}</math> bestaan met <math>a\cdot b=0</math>, dan is de karakteristiek 0 of een [[priemgetal]]. Dit geldt in het bijzonder als <math>R</math> een [[lichaam (Ned) / veld (Be)|lichaam (in België: veld)]] is.
 
De gehele [[restklasse]]n modulo <math>n</math> (<math>n=2,3,4,\ldots</math>) vormen een [[commutatieve ring]] met eenheid met karakteristiek <math>n</math>, genoteerd <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Dit is een lichaam als en slechts als <math>n</math> een priemgetal is.
 
Als <math>R_1</math> en <math>R_2</math> ringen met eenheid zijn, en <math>R_1</math> is een [[deelring]] van <math>R_2</math> (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben <math>R_1</math> en <math>R_2</math> dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met [[karakteristiek]] 0 bevat <math>\mathbb{Z}</math> als deelring, en elke ring met karakteristiek <math>n>1</math> bevat <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> als [[deelring]].
 
De enige [[ring (wiskunde)|ring]] met karakteristiek 1 is het [[Singleton (wiskunde)|singleton]] <math>\{0=1\}</math>.
 
==Alternatieve definities==
De karakteristiek is gelijk aan de [[exponent (groepentheorie)|exponent]] van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve ''n'' zodanig dat
:<math>\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{n maal}} = 0</math>
voor elk element ''a'' van de ring (nogmaals, als ''n'' bestaat, anders nul). Dit volgt uit de [[distributiviteit]] van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.
 
Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het [[natuurlijk getal]] ''n'' zodanig dat ''n'''''Z''' de [[kern (ringtheorie)|kern]] van een [[ringhomomorfisme]] van '''Z''' naar ''R'' is, zodanig dat ''R'' een [[deelring]] [[ringhomomorfisme|isomorf]] met de [[factorring]] '''Z'''/''n'''''Z''' bevat, die de [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] van dat [[homomorfisme]] zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig dat er slechts een homomorfisme van de [[ring van de gehele getallen]] naar enig andere ring kan zijn, in de taal van de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]] is '''Z''' het [[initiële object]] van de [[categorie van ringen]]. Ook hier volgt men de conventie dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft, en dat ring-homomorfismen het eenheidselement respecteren.
 
[[Categorie:Abstracte algebra]]
[[Categorie:Ringtheorie]]

Versie van 19 aug 2011 22:19

In de abstracte algebra is de karakteristiek van een ring R het kleinste aantal keren dat men in een som gebruik moet maken van het multiplicatieve identiteitselement (1) om het additieve identiteitselement (0) te verkrijgen; van de ring zegt men dat deze karakteristiek nul heeft, indien deze herhaalde som nooit de additieve identiteit bereikt.

Formele definitie

Zij R een ring (niet noodzakelijk commutatief) met neutraal element 1R voor de vermenigvuldiging. De karakteristiek van R, genoteerd char(R), is het kleinste natuurlijke getal getal n zodanig dat

<math>\begin{matrix}\underbrace{1_R+1_R+\ldots+1_R}&=&0_R\\n\ \mathrm{maal} \end{matrix}</math>

als een dergelijk getal n bestaat, en anders 0.

Voorbeelden

De klassieke getallenverzamelingen <math>\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{C}</math> hebben karakteristiek 0. Zo ook de p-adische getallen.

Als <math>R</math> een integriteitsgebied is, dat wil zeggen dat er geen elementen <math>a,b\in R\setminus\{0\}</math> bestaan met <math>a\cdot b=0</math>, dan is de karakteristiek 0 of een priemgetal. Dit geldt in het bijzonder als <math>R</math> een lichaam (in België: veld) is.

De gehele restklassen modulo <math>n</math> (<math>n=2,3,4,\ldots</math>) vormen een commutatieve ring met eenheid met karakteristiek <math>n</math>, genoteerd <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>. Dit is een lichaam als en slechts als <math>n</math> een priemgetal is.

Als <math>R_1</math> en <math>R_2</math> ringen met eenheid zijn, en <math>R_1</math> is een deelring van <math>R_2</math> (met hetzelfde eenheidselement), dan hebben <math>R_1</math> en <math>R_2</math> dezelfde karakteristiek. Omgekeerd: elke ring met karakteristiek 0 bevat <math>\mathbb{Z}</math> als deelring, en elke ring met karakteristiek <math>n>1</math> bevat <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> als deelring.

De enige ring met karakteristiek 1 is het singleton <math>\{0=1\}</math>.

Alternatieve definities

De karakteristiek is gelijk aan de exponent van de additieve groep van de ring, dat wil zeggen, de kleinste positieve n zodanig dat

<math>\underbrace{a+\cdots+a}_{\text{n maal}} = 0</math>

voor elk element a van de ring (nogmaals, als n bestaat, anders nul). Dit volgt uit de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling.

Andere equivalente definities nemen de karakteristiek als het natuurlijk getal n zodanig dat nZ de kern van een ringhomomorfisme van Z naar R is, zodanig dat R een deelring isomorf met de factorring Z/nZ bevat, die de afbeelding van dat homomorfisme zou worden. De eisen van ringhomomorfismen zijn zodanig dat er slechts een homomorfisme van de ring van de gehele getallen naar enig andere ring kan zijn, in de taal van de categorietheorie is Z het initiële object van de categorie van ringen. Ook hier volgt men de conventie dat een ring een multiplicatief identiteitselement heeft, en dat ring-homomorfismen het eenheidselement respecteren.