Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed

Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.

  • Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
  • Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
rel=nofollow

Algemene relativiteitstheorie: verschil tussen versies

Uit Wikisage
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Regel 55: Regel 55:
DA<sub>i</sub>/dx<sup>l</sup> is de covariante afgeleide, een tensor. Het Γ symbool, genoemd naar Elwin Christoffel, is
DA<sub>i</sub>/dx<sup>l</sup> is de covariante afgeleide, een tensor. Het Γ symbool, genoemd naar Elwin Christoffel, is
: Γ<sup>i</sup><sub>kl</sub> = (g<sup>im</sup>/2)(∂g<sub>mk</sub>/∂x<sub>l</sub> + ∂g<sub>ml</sub>/∂x<sub>k</sub> - ∂g<sub>kl</sub>/∂x<sub>m</sub>)
: Γ<sup>i</sup><sub>kl</sub> = (g<sup>im</sup>/2)(∂g<sub>mk</sub>/∂x<sub>l</sub> + ∂g<sub>ml</sub>/∂x<sub>k</sub> - ∂g<sub>kl</sub>/∂x<sub>m</sub>)
Christoffel introduceerde deze symbolen in 1869 in de differentiaal geometrie van gekromde ruimte.


De covariante afgeleide van een tensor is
De covariante afgeleide van een tensor is

Versie van 23 feb 2022 10:03

Algemene relativiteitstheorie is in de natuurkunde de uitbreiding die Albert Einstein in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor zwaartekracht. De verandering van zwaartekrachtvelden van bewegende massa's kan niet onmiddelijk zijn, dus oneindige voortplantingssnelheid hebben zoals in Newton's theorie. In Einstein's theorie is zwaartekracht kromming van de vierdimensionale ruimtetijd, een wiskundig model dat Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - had geïntroduceerd in 1908.

De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, zie speciale relativiteitstheorie. Verschillende waarnemers zijn het oneens over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, interval genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert.

Δs² = c²Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)

waarin Δ coordinaatverschil aanduidt, Δs²=(Δs)², niet Δ(s²). Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of eigentijd Δτ = Δs/c.

De volgende beschrijving van de algemene relativiteitstheorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, The classical theory of fields. De § nummers verwijzen naar de 4de editie.

§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld wordt.

Kromme ruimtetijd

§83. In 4-dimensionale ruimtetijd wordt een coordinaten stelsel x0,x1,x2,x3 beschouwd en de transformatie naar een ander stelsel x,0,x,1,x,2,x,3. De xi zijn bepaalde functies van de x,k. Als deze functies geen constanten zijn, zijn de coordinaten stelsels kromlijnig.

Een contravariant vectorveld Ai transformeert per definitie volgens

Ai = (∂xi/∂x,k)A,k

waarbij gesommeerd wordt over de herhaalde index k van 0 tot 3. Dus Ai = ∑k(∂xi/∂x,k)A,k maar het somteken wordt weggelaten. Een vectorveld Bi dat transformeert volgens

Bi = (∂x,k/∂xi)B,k

heet covariant. Ze worden genoteerd met respectievelijk superscripts en subscripts.

Een 4x4 matrix Aik die transformeert als het product van twee contravariante vectors

Aik = (∂xi/∂x,l)(∂xk/∂x,m)A,lm

is een contravariante tensor. Een matrix Aik die transformeert als het product van twee covariante vectors

Aik = (∂x,l/∂xi)(∂x,m/∂xk)A'lm

is een covariante tensor. Een gemengde tensor Aik transformeert volgens

Aik = (∂xi/∂x'l)(∂x,m/∂xk)A'lm

Het interval ds is in het algemeen alleen te definiëren voor infinitesimaal gescheiden gebeurtenissen en het kwadraat heeft dan de vorm

ds² = gikdxidxk

De matrix elementen gik zijn functies van de coordinaten xi en bepalen de ruimtetijd metriek. Deze matrix heet de metrische tensor. Deze is covariant en symmetrisch, gik=gki, dus van de 16 termen van ds² zijn er 6 dubbel. De inverse matrix is de contravariante metrische tensor gik:

gikgkl = δli

met de eenheidstensor

δik = 0 voor i≠k en 1 voor i=k

Hetzelfde natuurkundige veld kan beschreven worden als contra- en co-variant vectorveld. Het verband tussen deze vormen wordt bepaald door de metriek:

Ai = gikAi, Ai = gikAi

Hetzelfde geldt voor tensorvelden, bijv

Aik = gilgkmAlm, Aik = gilAkl

In een rechtlijnig coordinaten stelsel zijn de componenten van gik en gik hetzelfde.

g00=1, g11=g22=g33= -1, gik=0 voor i≠k

Energie-impuls tensor

§32,33. De energie-impuls tensor Tik is contravariant en symmetrisch met componenten (α en β = 1,2,3)

T00 is de energiedichtheid (ook electromagnetisch)
T = Tα0 is de α component van de impulsdichtheid (ook de Poynting vector)
Tαβ is de flux van de α component van de impuls door het oppervlak van constante β (ook de Maxwell spanningtensor), voor α≠β is dat de schuifspanning en voor α=β is het de druk

De covariante vorm van de energie-impuls tensor is

Tik = Tlmgilgkm

Covariante afgeleide

§85,86. In kromlijnige coordinaten is de differentiaal dAi geen covariante vector. Omdat de gik niet constant zijn maar functies van xl, verandert gaande van xl naar xl+dxl ook het coordinatenstelsel. Gecorrigeerd is de covariante differentiaal

DAi = (∂Ai/∂xl - ΓkilAk)dxl

DAi/dxl is de covariante afgeleide, een tensor. Het Γ symbool, genoemd naar Elwin Christoffel, is

Γikl = (gim/2)(∂gmk/∂xl + ∂gml/∂xk - ∂gkl/∂xm)

Christoffel introduceerde deze symbolen in 1869 in de differentiaal geometrie van gekromde ruimte.

De covariante afgeleide van een tensor is

DAik/dxl = ∂Aik/∂xl - Γmilgmk - Γmklgim

In rechtlijnige coordinaten zijn de componenten van gim en gim hetzelfde, en constant dus de Γikl nul.

Constante versnelling

§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle gik onafhankelijk van de tijd x0 en g01=g02=g03=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte.

τ = (x0/c)√g00

De snelheid van een massa in dit systeem is, gemeten in eigentijd,

v = dl/dτ met dl² = -gαβdxαdxβ gesommeerd over α en β van 1 tot 3.

De energie van de massa is behouden:

E = 𝛾mc²√g00 met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Als v veel kleiner is dan c, en de zwaartekracht zwak, is g00 = 1+2U/c² en

E = mc²+½mv²+mU

waarin U de potentiaal van het zwaartekracht veld is.

Einstein vergelijkingen

§95. Einstein leidde partiële differentiaalvergelijkingen af voor zwaartekracht theorie geldig als snelheden niet veel kleiner zijn dan c, waardoor de theorie van Newton niet meer geldt.

De Einstein vergelijkingen bepalen de ruimtekromming tensor Rik als functie van de energie-impuls tensor Tik.

Rik = (8πG/c⁴)(Tik - gikT/2), T=Tii

G=6,674 x 10−11 m3 s−2 kg−1 is de Newtonse gravitatie constante. De ruimtekromming tensor (dimensie m-2) kan op andere manieren geschreven worden, ook als functie van de metrische tensor met Christoffel symbolen

Rik = ∂Γlik/∂xl - ∂Γlil/∂xk + ΓlikΓmlm - ΓmilΓlkm

§99. Als snelheden veel kleiner zijn dan c, en de zwaartekracht zwak, is g00 = 1+2U/c² met de zwaartekracht potentiaal U. Van Tik resteert alleen de tijd component

T00 = μc² met massadichtheid μ,

alle andere componenten zijn te verwaarlozen. Ook T=μc². Van Rik blijft ook alleen

R00 = (4πG/c²)μ

over. De Einstein vergelijkingen zijn dan

ΔU = 4πGμ met de Laplace operator Δ = ∂²/∂xα∂xα

Dit is de niet-relativistische vergelijking van de zwaartekracht potentiaal (analoog aan de vergelijking van de elektrische potentiaal van ladingsdichtheid).

Schwarzschild oplossing

§100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ

ds² = (1-rg/r)c²dt² - r²(sin²θ dφ²+dθ²) - dr²/(1-rg/r)

waarin rg=2GM/c². Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen in de ruimte buiten de materie die de zwaartekracht veroorzaakt, dus waar Rik=0.

§101. Van de Zon is de gravitatie straal rg = 3 km en de straal r = 7.105 km. Voor planeten is de relativistische correctie op hun ellips banen zeer gering vergeleken met Newtons theorie omdat hun snelheid veel kleiner is dan c. Voor Mercurius is deze correctie 43" per eeuw.

§102. In de Schwarzschild metriek gaat gtt naar nul en grr naar oneindig als r=rg. Dit betekent dat een voldoende grote massa niet in evenwicht kan blijven en implodeert tot een zwart gat. Een ster die veel zwaarder is dan de Zon, kan als alle waterstof gefuseerd is instorten tot de straal r de gravitatie straal rg nadert, en dan een zwart gat vormen. De ster concentreert alle massa in het centrum in eindige eigentijd, en straalt niets meer uit. In de omgeving werkt alleen zijn zwaartekracht.

Zwaartekracht golven

§107. Sterren die zich versneld bewegen tov elkaar veranderen hun gravitatieveld. Volgens Newton is die verandering instantaan overal in de ruimte, maar volgens Einstein plant die zich niet oneindig snel maar met de lichtsnelheid voort als een golf. Zwaartekracht golven zijn een verstoring (rimpel) van een zwaartekrachtveld, dus van de metrische tensor. Gravitatiegolven zijn transversaal.

§110. Twee massa's die om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien, stralen zwaartekrachtgolven uit. Van twee dicht om elkaar draaiende zwarte gaten die daardoor energie verloren en fuseerden, is de golf in 2016 gemeten op Aarde.[1]

Friedmann oplossing

§111, 112. Alexander Friedmann vond in 1922 een oplossing van de Einsteinvergelijkingen voor een model van het universum waarin materie niet geconcentreerd is in sterren maar als gas gelijkmatig verdeeld is. De oplossing is singulier: het universum begint met oneidige massadichtheid en expandeert.

Het interval in dit model van het universum is

ds² = c²dt² - dr²/(1-r²/a²) - r²(sin²θ dφ²+dθ²)

in bolcoordinaten. De parameter a is de kromtestraal van het universum die groeit van nul tot een maximum

amax = 4GM/3πc²

en dan weer afneemt tot nul. M is de totale massa in het universum. De tijdsduur van dit proces is πamax/c.

Het gekromde universum bevat alle ruimte in een eindig volume (en heeft dus geen grenzen met omringende ruimte).

V = 2π²a³

(Dat is niet visueel voorstelbaar, maar het beeld van een analoge tweedimensionale ruimte helpt: het oppervlak van een bol is gekromd, het heeft geen grenzen en het is eindig; eigenschappen die een driedimensionale ruimte ook kan hebben.) V verschilt van het volume (4/3)πa³ van een bol met straal a die begrensd is in omringende ruimte.

§113. Friedmann vond ook in 1924 een oplossing met krommming a² die van nul steeds meer negatief wordt. Er is ook de oplossing met oneindige kromtestraal a, dus de niet-gekromde ruimte. In deze oplossingen is het volume van het universum oneindig. Het is niet bekend of het universum eindig of oneindig is, massa M en volume V zijn onbekend omdat maar een klein deel van het universum op Aarde waarneembaar is.[2]

Oerknal

§114. De expansie van het universum werd bevestigd toen Edwin Hubble in 1929 de roodverschuiving van de spectra van verre sterrenstelsels publiceerde. Hij vond dat deze sterren zich verwijderen met een snelheid v evenredig met hun afstand l

v = Hl, H = 7.10-11 per jaar

H is de Hubble constante. 1/H is de ouderdom van het universum, 14 miljard jaar.

De expansie begon niet op een tijdstip ergens in de ruimte. Met de oerknal ontstond tijd en ruimte. Volgens Stephen Hawking ontstond toen ook de positieve energie van elementaire deeltjes en de evengrote negatieve energie van zwaartekracht (ruimtekromming). Naar een bevredigende verklaring wordt nog gezocht in een combinatie van quantummechanica en relativiteitstheorie tot een quantumveldentheorie.[3] Zie ook Oerknal.