Speciale relativiteitstheorie

De speciale relativiteitstheorie, in 1905 gepubliceerd door Albert Einstein, is de bewegingsleer (kinematica) voor het geval dat snelheden niet zeer klein zijn tov de lichtsnelheid. Volgens deze theorie zijn lengte en tijd relatief, namelijk afhankelijk van het snelheidsverschil tussen waarnemers.

Einstein gaat uit van twee postulaten:

1. Elke waarnemer die zich eenparig (niet versneld) beweegt ondergaat dezelfde natuurwetten.
2. De lichtsnelheid c in vacuüm is onafhankelijk van de snelheid van de bron.

Laat twee waarnemers W en W' eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V. Laat op enig moment de oorsprongen van hun coordinaatsystemen met gelijkgerichte assen x,y,z en x',y',z' samenvallen en synchonizeer dan hun klokken t=t'=0. Ontsteek op dat moment een lichtpuls in de oorsprong. Volgens de postulaten hebben de vergelijkingen van de lichtgolf van die puls voor beide waarnemers de zelfde bolvorm

x²+y²+z² = c²t² en x'²+y'²+z'² = c²t'²

met straal ct en ct' en middelpunten in hun oorsprongen. Beide waarnemers, die zich steeds verder van elkaar verwijderen, zijn in de oorsprong van hun coordinaatsystemen in het middelpunt van dezelfde bolgolf. Hoe kan dat?

De oplossing van deze paradox is het vinden van de coordinatentransformatie. De transformatie van de y en z coordinaten is eenvoudig y=y' en z=z', maar die tussen x',t' en x,t zodanig dat

x²-c²t² = x'²-c²t'² = 0

is het probleem. De niet-relativistische translatie x'=x-Vt en t'=t is niet de oplossing. Dan is x'² niet gelijk aan c²t'² zodat de oorsprong x'=0 niet het middelpunt van de golf is.

De relativistische transformatie heeft een ingewikkelder vorm

x' = g(x-Vt) en t' = at+bx/c

met dimensieloze factoren g, a en b. Invullen in de golf vergeljkingen geeft

x²-c²t² = g²(x-Vt)²-c²(at+bx/c)² = (g²-b²)x²-2(g²V+abc)xt+(g²V²-a²c²)t² = 0.

Dit geldt voor alle x en t dus

g²-b² = 1, a²c²-g²V² = c² en g²V+abc = 0,

drie vergelijkingen voor g, a en b. Volgens de derde vergelijking is g⁴V²=a²b²c². Substitueer a² en b² volgens de eerste twee vergelijkingen. De g⁴V² term valt er uit en het resultaat is:

g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.

Met de gangbare notatie β=V/c en γ=g (griekse gamma) is de transformatie, genoemd naar Hendrik Lorentz,

x' = γ(x-βct), y' = y, z' = z, ct' = γ(ct-βx) met γ = 1/√(1-β²).

Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.

Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. De coordinaten van de stokeinden zijn x'₁ en x'₂. Op tijd t is de stoklengte L = x'₂-x'₁ = γ(x₂-x₁). Volgens W is de stoklengte x₂-x₁ = L/γ, een factor γ korter. Dit heet Lorentz-FitzGerald contractie. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.

De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = γ(x'+βct'), ct = γ(ct'+βx') met tegengesteld teken van β.

Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken t'₁ en t'₂. T = t'₂-t'₁. Volgens W tikt de klok op ct₁ = γct'₁ en ct₂ = γct'₂ met tijdsverschil t₂-t₁ = γT, een factor γ langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet tijddilatatie.

De kloktikken zijn volgens W op verschillende plaatsen x₁ = γβct'₁ en x₂ = γβct'₂ op x₂-x₁ = γβcT = VγT afstand van elkaar. Afstand gedeeld door tijdverschil is V voor beide waarnemers.

Robert B Leighton, Principles of modern physics, ch.1.