Wikisage, de vrije encyclopedie van de tweede generatie, is digitaal erfgoed

Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.

  • Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
  • Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
rel=nofollow

Speciale relativiteitstheorie: verschil tussen versies

Uit Wikisage
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Geen bewerkingssamenvatting
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 24: Regel 24:
: g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.
: g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.
   
   
Met de gangbare notatie β=V/c en γ=g (griekse gamma) is de transformatie, genoemd naar [[Hendrik Lorentz]],
Met de gangbare notatie 𝛽=V/c en 𝛾=g is de transformatie, genoemd naar [[Hendrik Lorentz]],
  x' = γ(x-βct), y' = y, z' = z, ct' = γ(ct-βx) met γ = 1/√(1-β²). 𝛽 𝛾
  x' = 𝛾(x-𝛽ct), y' = y, z' = z, ct' = 𝛾(ct-𝛽x) met 𝛾 = 1/√(1-𝛽²).
Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.
Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.


Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. De coordinaten van de stokeinden zijn x'<sub>1</sub> en x'<sub>2</sub>. Op tijd t is de stoklengte L = x'<sub>2</sub>-x'<sub>1</sub> = γ(x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub>). Volgens W is de stoklengte x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub> = L/γ, een factor γ korter. Dit heet '''Lorentz-FitzGerald contractie'''. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.
Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. De coordinaten van de stokeinden zijn x'<sub>1</sub> en x'<sub>2</sub>. Op tijd t is de stoklengte L = x'<sub>2</sub>-x'<sub>1</sub> = 𝛾(x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub>). Volgens W is de stoklengte x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub> = L/𝛾, een factor 𝛾 korter. Dit heet '''Lorentz-FitzGerald contractie'''. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.


De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = γ(x'+βct'), ct = γ(ct'+βx') met tegengesteld teken van β.
De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = 𝛾(x'+𝛽ct'), ct = 𝛾(ct'+𝛽x') met tegengesteld teken van 𝛽.


Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken t'<sub>1</sub> en t'<sub>2</sub>. T = t'<sub>2</sub>-t'<sub>1</sub>. Volgens W tikt de klok op ct<sub>1</sub> = γct'<sub>1</sub> en ct<sub>2</sub> = γct'<sub>2</sub> met tijdsverschil t<sub>2</sub>-t<sub>1</sub> = γT, een factor γ langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet '''tijddilatatie'''.
Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken t'<sub>1</sub> en t'<sub>2</sub>. T = t'<sub>2</sub>-t'<sub>1</sub>. Volgens W tikt de klok op ct<sub>1</sub> = 𝛾ct'<sub>1</sub> en ct<sub>2</sub> = 𝛾ct'<sub>2</sub> met tijdsverschil t<sub>2</sub>-t<sub>1</sub> = 𝛾T, een factor 𝛾 langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet '''tijddilatatie'''.


De W' klok beweegt volgens W tussen de tikken over een afstand x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub> = γβc(t'<sub>2</sub>-t'<sub>1</sub>) = γβcT = VγT.
De W' klok beweegt volgens W tussen de tikken over een afstand x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub> = 𝛾𝛽c(t'<sub>2</sub>-t'<sub>1</sub>) = 𝛾𝛽cT = V𝛾T.


=== Snelheden optellen ===
=== Snelheden optellen ===
Laat een derde waarnemer W" eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V' tov W' in de x richting. Wat is de snelheid van W" tov W? De transformatie van de x" en t" coordinaten van W" naar x' en t' is
Laat een derde waarnemer W" eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V' tov W' in de x richting. Wat is de snelheid van W" tov W? De transformatie van de x" en t" coordinaten van W" naar x' en t' is
: x" = γ'(x'-β'ct'), ct" = γ'(ct'-β'x') met β' = V'/c en γ' = 1/√(1-β'²).
: x" = 𝛾'(x'-𝛽'ct'), ct" = 𝛾'(ct'-𝛽'x') met 𝛽' = V'/c en 𝛾' = 1/√(1-𝛽'²).
Uitgedrukt in W coordinaten x,t is x" = γ'(γx-γβct-β'γct+γβ'βx) = γ'γ(x(1+β'β)-ct(β+β')).
Uitgedrukt in W coordinaten x,t is x" = 𝛾'(𝛾x-𝛾𝛽ct-𝛽'𝛾ct+𝛾𝛽'𝛽x) = 𝛾'𝛾[x(1+𝛽'𝛽)-ct(𝛽+𝛽')].
W" bevindt zich op x"=0, dat is op x = ct(β+β')/(1+β'β). De snelheid van W" is volgens W
W" bevindt zich op x"=0, dat is op x = ct(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽). De snelheid van W" is volgens W
: x/t = c(β+β')/(1+β'β) = (V+V')/(1+β'β).
: x/t = c(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽) = (V+V')/(1+𝛽'𝛽).
Dus niet V+V' maar een factor 1+β'β kleiner, en daardoor kleiner dan c zelfs als V+V' groter dan c is.
Dus niet V+V' maar een factor 1+𝛽'𝛽 kleiner, en daardoor kleiner dan c zelfs als V+V' groter dan c is.


=== Mechanica ===
=== Mechanica ===
Relativistisch is de impuls van een massa m met snelheid v:
Relativistisch is de impuls van een massa m met snelheid v:
: p = γmv met γ = 1/√(1-v²/c²)
: p = 𝛾mv met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)
Een kracht K op de massa in de bewegingsrichting verandert de impuls. Omdat /dt = γ³(v/c²)dv/dt is
Een kracht K op de massa in de bewegingsrichting verandert de impuls. Omdat d𝛾/dt = 𝛾³(v/c²)dv/dt is
: K = dp/dt = m(vdγ/dt+γdv/dt) = m(γ³v²/c²+γ)dv/dt = mγ³dv/dt
: K = dp/dt = m(vd𝛾/dt+𝛾dv/dt) = m(γ³v²/c²+𝛾)dv/dt = m𝛾³dv/dt
De energie E van de massa verandert door K volgens
De energie E van de massa verandert door K volgens
: dE/dt = Kv = mc²dγ/dt
: dE/dt = Kv = mc²d𝛾/dt
dus zoals γmc² verandert. Relativistisch is de energie
dus zoals 𝛾mc² verandert. Relativistisch is de energie
  E = γmc²
  E = 𝛾mc²
Als v veel kleiner dan c is, is γ=1+v²/2c² en dE/dt = d½mv²/dt, dus niet-relativistisch is de energie ½mv².
Als v veel kleiner dan c is, is 𝛾=1+v²/2c² en dE/dt = d½mv²/dt, dus niet-relativistisch is de energie ½mv².


'''Andere notatie'''
'''Andere notatie'''


Andere beschrijvingen van de relativistische mechanica, bijv in de Wikipedia, gebruiken andere notatie: de rustmassa m<sub>0</sub> en de relativistische massa m=γm<sub>0</sub> die afhankelijk is van de snelheid tov een waarnemer. Dan is de impuls p=mv en de energie E=mc². Natuurkunde leerboeken gebruiken deze andere notatie meestal niet.
Andere beschrijvingen van de relativistische mechanica, bijv in de Wikipedia, gebruiken andere notatie: de rustmassa m<sub>0</sub> en de relativistische massa m=𝛾m<sub>0</sub> die afhankelijk is van de snelheid tov een waarnemer. Dan is de impuls p=mv en de energie E=mc². Natuurkunde leerboeken gebruiken deze andere notatie meestal niet.


=== Ruimtetijd ===
=== Ruimtetijd ===

Versie van 25 nov 2021 16:16

De speciale relativiteitstheorie, in 1905 gepubliceerd door Albert Einstein, is de bewegingsleer (kinematica) voor het geval dat snelheden niet zeer klein zijn tov de lichtsnelheid c. Volgens deze theorie zijn lengte en tijd relatief, namelijk afhankelijk van het snelheidsverschil tussen waarnemers, en de energie van massa is evenredig met c².

De volgende beschrijving van de theorie is ontleend aan Robert B Leighton, Principles of modern physics, ch.1.

Einstein gaat uit van twee postulaten:

  1. De natuurwetten zijn dezelfde voor waarnemers die zich eenparig (niet versneld) bewegen tov elkaar.
  2. De lichtsnelheid c in vacuüm is gelijk voor iedere waarnemer, onafhankelijk van de snelheid van de bron.

Laat twee waarnemers W en W' eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V. Laat op enig moment de oorsprongen van hun coordinaatsystemen met gelijkgerichte assen x,y,z en x',y',z' samenvallen en synchonizeer dan hun klokken t=t'=0. Ontsteek op dat moment een lichtpuls in de oorsprong. Volgens de postulaten hebben de vergelijkingen van de lichtgolf van die puls voor beide waarnemers de zelfde bolvorm

x²+y²+z² = c²t² en x'²+y'²+z'² = c²t'²

met straal ct en ct' en middelpunten in hun oorsprongen. Beide waarnemers, die zich steeds verder van elkaar verwijderen, zijn in de oorsprong van hun coordinaatsystemen in het middelpunt van dezelfde bolgolf. Hoe kan dat?

De oplossing van deze paradox is het vinden van de coordinatentransformatie. De transformatie van de y en z coordinaten is eenvoudig y=y' en z=z', maar die tussen x',t' en x,t zodanig dat

x²-c²t² = x'²-c²t'² = 0

is het probleem. De niet-relativistische translatie x'=x-Vt en t'=t is niet de oplossing. Dan is x'² niet gelijk aan c²t'² zodat de oorsprong x'=0 niet het middelpunt van de golf is.

De relativistische transformatie heeft een ingewikkelder vorm

x' = g(x-Vt) en t' = at+bx/c

met dimensieloze factoren g, a en b. Invullen in de golf vergeljkingen geeft

x²-c²t² = g²(x-Vt)²-c²(at+bx/c)² = (g²-b²)x²-2(g²V+abc)xt+(g²V²-a²c²)t² = 0.

Dit geldt voor alle x en t dus

g²-b² = 1, a²c²-g²V² = c² en g²V+abc = 0,

drie vergelijkingen voor g, a en b. Volgens de derde vergelijking is g⁴V²=a²b²c². Substitueer a² en b² volgens de eerste twee vergelijkingen. De g⁴V² term valt er uit en het resultaat is:

g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.

Met de gangbare notatie 𝛽=V/c en 𝛾=g is de transformatie, genoemd naar Hendrik Lorentz,

x' = 𝛾(x-𝛽ct), y' = y, z' = z, ct' = 𝛾(ct-𝛽x) met 𝛾 = 1/√(1-𝛽²).

Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem.

Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. De coordinaten van de stokeinden zijn x'1 en x'2. Op tijd t is de stoklengte L = x'2-x'1 = 𝛾(x2-x1). Volgens W is de stoklengte x2-x1 = L/𝛾, een factor 𝛾 korter. Dit heet Lorentz-FitzGerald contractie. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.

De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = 𝛾(x'+𝛽ct'), ct = 𝛾(ct'+𝛽x') met tegengesteld teken van 𝛽.

Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken t'1 en t'2. T = t'2-t'1. Volgens W tikt de klok op ct1 = 𝛾ct'1 en ct2 = 𝛾ct'2 met tijdsverschil t2-t1 = 𝛾T, een factor 𝛾 langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet tijddilatatie.

De W' klok beweegt volgens W tussen de tikken over een afstand x2-x1 = 𝛾𝛽c(t'2-t'1) = 𝛾𝛽cT = V𝛾T.

Snelheden optellen

Laat een derde waarnemer W" eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V' tov W' in de x richting. Wat is de snelheid van W" tov W? De transformatie van de x" en t" coordinaten van W" naar x' en t' is

x" = 𝛾'(x'-𝛽'ct'), ct" = 𝛾'(ct'-𝛽'x') met 𝛽' = V'/c en 𝛾' = 1/√(1-𝛽'²).

Uitgedrukt in W coordinaten x,t is x" = 𝛾'(𝛾x-𝛾𝛽ct-𝛽'𝛾ct+𝛾𝛽'𝛽x) = 𝛾'𝛾[x(1+𝛽'𝛽)-ct(𝛽+𝛽')]. W" bevindt zich op x"=0, dat is op x = ct(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽). De snelheid van W" is volgens W

x/t = c(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽) = (V+V')/(1+𝛽'𝛽).

Dus niet V+V' maar een factor 1+𝛽'𝛽 kleiner, en daardoor kleiner dan c zelfs als V+V' groter dan c is.

Mechanica

Relativistisch is de impuls van een massa m met snelheid v:

p = 𝛾mv met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Een kracht K op de massa in de bewegingsrichting verandert de impuls. Omdat d𝛾/dt = 𝛾³(v/c²)dv/dt is

K = dp/dt = m(vd𝛾/dt+𝛾dv/dt) = m(γ³v²/c²+𝛾)dv/dt = m𝛾³dv/dt

De energie E van de massa verandert door K volgens

dE/dt = Kv = mc²d𝛾/dt

dus zoals 𝛾mc² verandert. Relativistisch is de energie

E = 𝛾mc²

Als v veel kleiner dan c is, is 𝛾=1+v²/2c² en dE/dt = d½mv²/dt, dus niet-relativistisch is de energie ½mv².

Andere notatie

Andere beschrijvingen van de relativistische mechanica, bijv in de Wikipedia, gebruiken andere notatie: de rustmassa m0 en de relativistische massa m=𝛾m0 die afhankelijk is van de snelheid tov een waarnemer. Dan is de impuls p=mv en de energie E=mc². Natuurkunde leerboeken gebruiken deze andere notatie meestal niet.

Ruimtetijd

De relativiteitstheorie toont dat lengte en tijd niet eenduidig te meten zijn, want ze zijn ongelijk voor verschillende waarnemers. Hermann Minkowski bedacht in 1907 dat deze theorie beter te formuleren is in ruimtetijd met 3 ruimte coordinaten x,y,z en als vierde coordinaat ct (zodat deze ook dimensie lengte heeft). In dat stelsel is het mogelijk de eigentijd dτ tussen twee gebeurtenissen met verschillende coordinaten x,y,z,ct te definiëren die voor verschillende waarnemers wel gelijk is:

dτ² = dt² - (dx²+dy²+dz²)/c²

waarin d coordinaatverschil aanduidt. Voor de bovenvermelde klok van W' is de eigentijd tussen kloktikken T, ook volgens W. Voor de maatstok van W' is de eigentijd dτ=iL/c imaginair, ook volgens W. De eenheid van lengte uitgedrukt in eigentijd is de lichtseconde, 299 792 458 meter.

Einstein formuleerde in 1915 de algemene relativiteitstheorie in ruimtetijd die gekromd is door massa.

Wikimedia Commons  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Special relativity op Wikimedia Commons.

rel=nofollow
rel=nofollow