Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Gebruiker:Franciscus/kladblok 2: verschil tussen versies
Regel 85: | Regel 85: | ||
:*''Het oppervlak '''A''' van een cilinder bereikt bij een gelijkblijvende inhoud '''V''''' | :*''Het oppervlak '''A''' van een cilinder bereikt bij een gelijkblijvende inhoud '''V''''' | ||
::::''een limiet bij wijziging van de straal '''d''' en de hoogte '''h'''''. | ::::''een limiet bij wijziging van de straal '''d''' en de hoogte '''h'''''. | ||
:''Deze limiet wordt bereikt als de straal '''d''' en de hoogte '''h''' gelijk aan elkaar zijn.'' | :''Deze limiet wordt bereikt als de straal '''d''' en de hoogte '''h''' '''gelijk''' aan elkaar zijn.'' | ||
[[Categorie: Wiskunde]] | [[Categorie: Wiskunde]] | ||
[[Categorie: Metaal]] | [[Categorie: Metaal]] | ||
[[Categorie: Metaalbewerking]] | [[Categorie: Metaalbewerking]] | ||
[[Categorie: Verpakkingen]] |
Versie van 2 nov 2016 13:44
Over het minimum oppervlak van een cilinder
In het essay over het minimum oppervlak van een kegel, wordt aangetoond, dat bij het groter of kleiner worden van de straal
R – bij een gegeven inhoud V - niet alleen het oppervlak A van de kegel groter of kleiner wordt, maar dat er ook een kleinste oppervlak aanwezig is.
Bij een cilinder blijkt bij een gegeven inhoud V ook een kleinste oppervlak A aanwezig te zijn, of met andere woorden:
- Het oppervlak A van een cilinder bereikt - bij een gelijkblijvende inhoud V - een limiet bij wijziging van de straal R en de hoogte h.
Deze stelling zal hierna verder worden onderzocht.
Cilinder
![](/w/images/thumb/f/f9/Cilinder.jpg/250px-Cilinder.jpg)
Een cilinder bestaat uit een gebogen oppervlak of cilindermantel, een grondvlak en een bovenvlak. Het bovenvlak is gelijk aan het grondvlak.
Bij de berekening van het oppervlak A en de inhoud V, komt het getal π aan de orde.
De algemeen gebruikte formules voor het oppervlak A en de inhoud V zijn als volgt:
![](/w/images/thumb/5/5b/Oppervlak_%2B_inhoud_.jpg/450px-Oppervlak_%2B_inhoud_.jpg)
- Voor de uiteenzetting over her minimum oppervlak, worden deze formules iets anders genoteerd, door namelijk uit te gaan van de diameter d = 2R in plaats van de straal R:
![](/w/images/thumb/4/4e/Cilinder-formules.jpg/500px-Cilinder-formules.jpg)
Standaardconservenblik
![](/w/images/thumb/6/6b/Conservenblik_.jpg/230px-Conservenblik_.jpg)
We zullen nu gaan onderzoeken waar het minimumoppervlak Amin bij de cilinder ligt.
Wiskundig kan dit allemaal op eenvoudige wijze worden gedaan met limieten, maar dan mis je tamelijk snel het inzicht van wat er gaande is. Om die reden zullen we hier dan ook met een rekenvoorbeeld uit de praktijk werken, namelijk een standaardconservenblik, zoals we die in de schrappen van de supermarkt zien staan.
Een conservenblik heeft uitwendig de vorm van een cilinder, waaruit als het ware een kleinere cilinder is uitgehaald, waardoor er een holle cilinder overblijft.
De meest voorkomende conservenblikken, gevuld met bruine bonen, sperciebonen, erwtensoep, of een ander product, zijn blikken met een diameter van 10 cm en met een hoogte van 11 cm, zodat de inhoud hiervan - rekening houdend met de materiaaldikte van 0,25 mm circa 0,85 liter is. Op de wikkel van veel blikken staat, dat er 0,8 of 0,83 liter inzit, zodat de blikken niet tot de rand gevuld zijn. Dat is ook wel nodig, om het uitzetten van het product op te kunnen vangen. Verder moet er natuurlijk voor worden gezorgd, dat de door de spreiding bij vulproces niet te weinig in zo’n blik terecht komt. Dat houdt dus in, dat er meestal iets meer van het product in het blik wordt gedaan, om zeker te zijn, dat de afnemer tevreden is.
Minimum en maximum
Het ligt natuurlijk voor de hand, dat de fabrikant - die grote hoeveelheden standaardblikken moet gaan vullen - graag wil, dat de stuksprijs hiervan zo laag mogelijk is. Het standaardblik moet dus liefst een zo klein mogelijk oppervlak hebben, want dan wordt er zo min mogelijk materiaal gebruikt. Ook bij het transport van de gevulde blikken moet natuurlijk zo min mogelijk ruimte worden ingenomen, zoals bepaald door de afmetingen van de tray en/of het pallet waarmee blikken worden getransporteerd.
Wat betreft het oppervlak van het conservenblik is hier dus sprake van een minimum. Wat betreft de inhoud van het blik is hier sprake van een maximum, namelijk 0,85 liter. Deze twee uitersten zullen in één product verenigd moeten worden.
Rekening houdend met een constante inhoud V = 850 cm3, kan bij elke diameter d en de daaruit af te leiden hoogte h het oppervlak A van de holle cilinder worden berekend.
Minimum oppervlak
Als we om te beginnen eens twee uitersten nemen, bijvoorbeeld een cilinder met een diameter d1 = 20 cm en een cilinder met een diameter d2 = 5 cm, dan volgt uit de eerder getoonde formules, dat bij het eerste blik de hoogte h1 = 2,7 cm en bij het andere blik h2 ≈ 43 cm. Dat zijn nogal uitzonderlijke blikken; een laag, nogal plat blik alleen geschikt voor het opbergen van crêpes, en een hoog, uitermate slank blik, alleen geschikt voor het inblikken van asperges. De oppervlakken van deze twee blikken zijn A1 = 719 cm2 en A2 = 798 cm2.
Ons gevoel zegt, dat we wel ergens halverwege d1 = 20 cm en d2 = 5 cm, moeten uitkomen.
Steeds uitgaande van de inhoud V van 0,85 liter, kan bij aanname van een aantal diameters in de buurt van de 10 cm steeds het oppervlak A worden berekend. We zien dan vanzelf wel waar we uitkomen. In bijgaande tabel zijn de uitkomsten netjes gerangschikt.
Diameter d ( cm ) | Hoogte h ( cm ) | Oppervlak A ( cm 2 ) |
---|---|---|
5 | 43,3 | 719 |
6 | 30 | 623 |
7 | 22,5 | 563 |
8 | 17,2 | 525 |
9 | 13,6 | 505 |
10 | 11 | 497 |
10,27 | 10,27 | 496 |
11 | 9,1 | 499 |
12 | 7,6 | 509 |
13 | 6,5 | 527 |
14 | 5,6 | 551 |
15 | 4,9 | 580 |
16 | 4,3 | 614 |
17 | 3,75 | 654 |
18 | 3,34 | 698 |
19 | 2,99 | 746 |
20 | 2,7 | 798 |
Nadere beschouwing
![](/w/images/thumb/9/9d/Grafiek_cilinder.jpg/450px-Grafiek_cilinder.jpg)
Het kleinste oppervlak A = 496 cm2 - het minimum oppervlak
dus – blijkt aanwezig te zijn, als de diameter d gelijk is aan de hoogte h. Dit is het geval als h = d = 10,27 cm, zoals ook bijgaande grafiek laat zien.
In de praktijk blijkt het conservenblik dus iets af te wijken van de ideale afmetingen. De diameter d van een standaardconservenblik is 10 cm en de hoogte h is 11 cm, maar dit heeft - zoals uit de tabel en uit de grafiek blijkt - nauwelijks invloed op het blikoppervlak A, zodat toch volledig wordt voldaan aan de gestelde eis met betrekking tot het materiaalverbruik en de kosten.
Nawoord
De simpele waarneming van een in elke supermarkt te vinden standaardconservenblik heeft geleid tot een nadere beschouwing van de cilinder, waarbij gebleken is, dat bij een constante inhoud V en bij wijziging van de diameter d, het oppervlak A groter of kleiner wordt. Het blijkt verder dat dit stijgen en dalen van het oppervlak A uitmondt in een minimum oppervlak, en wel als de hoogte h = diameter d, of anders geformuleerd:
- Het oppervlak A van een cilinder bereikt bij een gelijkblijvende inhoud V
- een limiet bij wijziging van de straal d en de hoogte h.
- Deze limiet wordt bereikt als de straal d en de hoogte h gelijk aan elkaar zijn.