Wikisage is op 1 na de grootste internet-encyclopedie in het Nederlands. Iedereen kan de hier verzamelde kennis gratis gebruiken, zonder storende advertenties. De Koninklijke Bibliotheek van Nederland heeft Wikisage in 2018 aangemerkt als digitaal erfgoed.
- Wilt u meehelpen om Wikisage te laten groeien? Maak dan een account aan. U bent van harte welkom. Zie: Portaal:Gebruikers.
- Bent u blij met Wikisage, of wilt u juist meer? Dan stellen we een bescheiden donatie om de kosten te bestrijden zeer op prijs. Zie: Portaal:Donaties.
Algemene relativiteitstheorie: verschil tussen versies
(64 tussenliggende versies door dezelfde gebruiker niet weergegeven) | |||
Regel 1: | Regel 1: | ||
'''Algemene relativiteitstheorie''' is in de natuurkunde de uitbreiding die [[Albert Einstein]] in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor zwaartekracht | '''Algemene relativiteitstheorie''' is in de natuurkunde de uitbreiding die [[Albert Einstein]] in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor zwaartekracht. De verandering van zwaartekrachtvelden van bewegende massa's kan niet onmiddelijk zijn, dus oneindige voortplantingssnelheid hebben zoals in Newton's theorie. In Einstein's theorie is zwaartekracht kromming van de vierdimensionale '''ruimtetijd''', een wiskundig model dat Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - had geïntroduceerd in 1908. | ||
De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, zie [[speciale relativiteitstheorie]]. Verschillende waarnemers zijn het oneens over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, '''interval''' genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert. | De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, zie [[speciale relativiteitstheorie]]. Verschillende waarnemers zijn het oneens over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, '''interval''' genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert. | ||
: Δs² = c²Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²) | : Δs² = c²Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²) | ||
waarin Δ coordinaatverschil aanduidt, Δs²=(Δs)², niet Δ(s²). | |||
Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of '''eigentijd''' Δτ = Δs/c. | Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of '''eigentijd''' Δτ = Δs/c. | ||
De volgende beschrijving van | In de algemene relativiteitstheorie is niet alleen tijd toegevoegd als vierde dimensie aan de ruimte, maar deze is bovendien gekromd door materie en elektromagnetisme. Einstein gebruikte daarvoor differentiaal meetkunde van gekromde ruimte van Bernhard Riemann, gepubliceerd door Elwin Christoffel in 1869. | ||
De volgende beschrijving van deze zwaartekracht theorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, ''The classical theory of fields''. De § nummers verwijzen naar de 4de editie. | |||
§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld wordt. | §81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld wordt. | ||
=== | === Kromme ruimtetijd === | ||
Gekromde ruimte is niet voor te stellen, maar wel te beschrijven door de meetkunde op een gekromd oppervlak uit te breiden naar drie (of meer) dimensies. | |||
x< | Op een gekromd oppervlak, bijv van een bol, is het niet mogelijk een cartesisch (rechtlijnig) coordinatenstelsel te leggen; een xy coordinatenstelsel is kromlijnig. | ||
Dat is ook zo voor 3-dimensionale gekromde ruimte; een xyz coordinatenstelsel is kromlijnig. | |||
Slechts in een infinitesimaal gebiedje is een coordinatenstelsel mogelijk cartesisch. | |||
: | In een kromlijnig xyz coordinatenstelsel zijn er voor de basisvectors in een punt (x,y,z) twee mogelijkheden: de x-vector staat loodrecht op het vlak x = constant, of wijst in de richting van de lijn die in beide vlakken y = constant en z = constant ligt. In een cartesisch stelsel vallen deze mogelijkheden samen, maar in een kromlijnig stelsel zijn er in elk punt verschillende gelijkwaardige basisvector stelsels, contra- en co-variant genoemd. | ||
De matrix elementen g<sub>ik</sub> zijn functies van de coordinaten x< | |||
§83. In 4-dimensionale ruimtetijd wordt een willekeurig coordinaten stelsel x<sup>0</sup>,x<sup>1</sup>,x<sup>2</sup>,x<sup>3</sup> beschouwd en de transformatie naar een ander stelsel x<sup>,0</sup>,x<sup>,1</sup>,x<sup>,2</sup>,x<sup>,3</sup>. De x<sup>i</sup> zijn bepaalde functies van de x<sup>,k</sup>. | |||
Een '''contravariant''' vectorveld A<sup>i</sup> transformeert per definitie net zo als coordinaat differentialen dx<sup>i</sup> = ∑<sub>k</sub>(∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>,k</sup>)dx<sup>,k</sup>, dus A<sup>i</sup> = ∑<sub>k</sub>(∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>,k</sup>)A<sup>,k</sup>. Somtekens worden weggelaten (''sommatie conventie''). | |||
: A<sup>i</sup> = (∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>,k</sup>)A<sup>,k</sup> | |||
Een vectorveld B<sup>i</sup> dat transformeert als de afgeleiden van een scalar ∂φ/∂x<sup>i</sup> = (∂φ/∂x<sup>,k</sup>)(∂x<sup>,k</sup>/∂x<sup>i</sup>), | |||
dus | |||
: B<sub>i</sub> = (∂x<sup>,k</sup>/∂x<sup>i</sup>)B'<sub>k</sub> | |||
heet '''covariant'''. Contra- en co-variante vectors worden genoteerd met respectievelijk super- en sub-scripts. | |||
Een 4x4 matrix A<sup>ik</sup> die transformeert als het product van twee contravariante vectors | |||
: A<sup>ik</sup> = (∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>,l</sup>)(∂x<sup>k</sup>/∂x<sup>,m</sup>)A<sup>,lm</sup> | |||
is een contravariante '''tensor'''. Een matrix A<sub>ik</sub> die transformeert als het product van twee covariante vectors | |||
: A<sub>ik</sub> = (∂x<sup>,l</sup>/∂x<sup>i</sup>)(∂x<sup>,m</sup>/∂x<sup>k</sup>)A'<sub>lm</sub> | |||
is een covariante tensor. Een gemengde tensor A<sup>i</sup><sub>k</sub> transformeert volgens | |||
: A<sup>i</sup><sub>k</sub> = (∂x<sup>i</sup>/∂x<sup>,l</sup>)(∂x<sup>,m</sup>/∂x<sup>k</sup>)A<sup>,l</sup><sub>m</sub> | |||
Het interval ds is in het algemeen alleen te definiëren voor infinitesimaal gescheiden gebeurtenissen en het kwadraat heeft dan de vorm | |||
: ds² = g<sub>ik</sub>dx<sup>i</sup>dx<sup>k</sup> | |||
De matrix elementen g<sub>ik</sub> zijn functies van de x<sup>i</sup> coordinaten. Gewoonlijk zijn x<sup>1</sup>, x<sup>2</sup>, x<sup>3</sup> ruimtecoordinaten en x<sup>0</sup> de tijdcoordinaat. Deze matrix heet de '''metrische tensor''' en bepaalt de ruimtetijd ''metriek''. De tensor is covariant en symmetrisch, g<sub>ik</sub>=g<sub>ki</sub>, dus van de 16 termen van ds² zijn er 6 dubbel. De inverse matrix is de contravariante metrische tensor g<sup>ik</sup>: | |||
: g<sub>ik</sub>g<sup>kl</sup> = δ<sup>l</sup><sub>i</sub> | |||
met de eenheidstensor | |||
: δ<sup>i</sup><sub>k</sub> = 0 voor i≠k en 1 voor i=k | |||
Hetzelfde natuurkundige veld kan beschreven worden als contra- en co-variant vectorveld. Het verband tussen deze vormen wordt bepaald door de metriek: | |||
: | : A<sup>i</sup> = g<sup>ik</sup>A<sub>k</sub>, A<sub>i</sub> = g<sub>ik</sub>A<sup>k</sup> | ||
Hetzelfde geldt voor tensorvelden, bijv | |||
: A<sup>ik</sup> = g<sup>il</sup>g<sup>km</sup>A<sub>lm</sub>, A<sup>i</sup><sub>k</sub> = g<sup>il</sup>A<sup>kl</sup> | |||
In een cartesisch coordinatenstelsel zijn de componenten van g<sub>ik</sub> en g<sup>ik</sup> hetzelfde. | |||
: g<sub>00</sub>=1, g<sub>11</sub>=g<sub>22</sub>=g<sub>33</sub>= -1, g<sub>ik</sub>=0 voor i≠k | |||
: | === Energie-impuls tensor === | ||
§32,33. De energie-impuls tensor T<sup>ik</sup> is contravariant en symmetrisch met componenten (α en β = 1,2,3) | |||
: T<sup>00</sup> is de energiedichtheid (ook electromagnetisch) | |||
: T<sup>0α</sup> = T<sup>α0</sup> is de α component van de impulsdichtheid (ook de Poynting vector) | |||
: T<sup>αβ</sup> is de flux van de α component van de impuls door het oppervlak van constante β (ook de Maxwell spanningtensor), voor α≠β is dat de schuifspanning en voor α=β is het de druk | |||
De covariante vorm van de energie-impuls tensor is | |||
: T<sub>ik</sub> = T<sup>lm</sup>g<sub>il</sub>g<sub>km</sub> | |||
en de gemengde vorm | |||
: T<sup>i</sup><sub>k</sub> = T<sup>il</sup>g<sub>kl</sub> | |||
=== Covariante afgeleide === | |||
§85,86. In kromlijnige coordinaten is de differentiaal dA<sub>i</sub> geen covariante vector. Omdat de g<sub>ik</sub> niet constant zijn maar functies van x<sup>l</sup>, verandert gaande van x<sup>l</sup> naar x<sup>l</sup>+dx<sup>l</sup> ook het coordinatenstelsel. Gecorrigeerd is de covariante differentiaal een ingewikkelde formule die hier zonder afleiding genoteerd wordt. | |||
: DA<sub>i</sub> = (∂A<sub>i</sub>/∂x<sup>l</sup> - Γ<sup>k</sup><sub>il</sub>A<sub>k</sub>)dx<sup>l</sup> | |||
Het Γ symbool, genoemd naar Elwin Christoffel, is | |||
: Γ<sup>i</sup><sub>kl</sub> = (g<sup>im</sup>/2)(∂g<sub>mk</sub>/∂x<sub>l</sub> + ∂g<sub>ml</sub>/∂x<sub>k</sub> - ∂g<sub>kl</sub>/∂x<sub>m</sub>) | : Γ<sup>i</sup><sub>kl</sub> = (g<sup>im</sup>/2)(∂g<sub>mk</sub>/∂x<sub>l</sub> + ∂g<sub>ml</sub>/∂x<sub>k</sub> - ∂g<sub>kl</sub>/∂x<sub>m</sub>) | ||
Christoffel introduceerde deze symbolen in 1869 in de differentiaal meetkunde van gekromde ruimte. DA<sub>i</sub> is een covariante vector en DA<sub>i</sub>/dx<sup>l</sup> is de covariante afgeleide, een tensor. | |||
De covariante afgeleide van een tensor is | |||
: DA<sub>ik</sub>/dx<sup>l</sup> = ∂A<sub>ik</sub>/∂x<sup>l</sup> - Γ<sup>m</sup><sub>il</sub>g<sub>mk</sub> - Γ<sup>m</sup><sub>kl</sub>g<sub>im</sub> | |||
De covariante afgeleide van g<sub>ik</sub> is nul. | |||
In cartesische coordinaten zijn de componenten van g<sub>im</sub> en g<sup>im</sup> hetzelfde, en constant dus de Γ<sup>i</sup><sub>kl</sub> nul. | |||
=== Constante versnelling === | === Constante versnelling === | ||
§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle g<sub>ik</sub> onafhankelijk van de tijd x< | §88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle g<sub>ik</sub> onafhankelijk van de tijd x<sup>0</sup> en | ||
g<sub>01</sub>=g<sub>02</sub>=g<sub>03</sub>=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte. | g<sub>01</sub>=g<sub>02</sub>=g<sub>03</sub>=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte. | ||
: τ = (x< | : τ = (x<sup>0</sup>/c)√g<sub>00</sub> | ||
De snelheid van een massa | De snelheid van een massa in dit systeem is, gemeten in eigentijd, | ||
: v = dl/dτ met dl² = -g<sub>αβ</sub>dx< | : v = dl/dτ met dl² = -g<sub>αβ</sub>dx<sup>α</sup>dx<sup>β</sup> gesommeerd over α en β van 1 tot 3. | ||
De energie van de massa is behouden: | De energie van de massa is behouden: | ||
: E = 𝛾mc²√g<sub>00</sub> met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²) | : E = 𝛾mc²√g<sub>00</sub> met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²) | ||
Regel 44: | Regel 87: | ||
waarin U de potentiaal van het zwaartekracht veld is. | waarin U de potentiaal van het zwaartekracht veld is. | ||
=== | === Ruimtekromming tensor === | ||
§91. Bernhard Riemann definiëerde in 1861 de tensor die ruimtekromming beschrijft. Het werd pas gepubliceerd in 1876, tien jaar na zijn dood.<ref>https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemann_tensor</ref> | |||
: | : R<sup>i</sup><sub>klm</sub> = ∂Γ<sup>i</sup><sub>km</sub>/∂x<sub>l</sub> - ∂Γ<sup>i</sup><sub>kl</sub>/∂x<sub>m</sub> + Γ<sup>i</sup><sub>nl</sub>Γ<sup>n</sup><sub>km</sub> - Γ<sup>i</sup><sub>nm</sub>Γ<sup>n</sup><sub>kl</sub> | ||
In vlakke (niet gekromde) ruimte is de Riemann tensor nul, en omgekeerd, als R<sup>i</sup><sub>klm</sub> = 0 dan is de ruimte vlak. | |||
§92. De Ricci tensor is | |||
R<sub>ik</sub> = R<sup>l</sup><sub>ilk</sub> | |||
De invariant R = g<sup>ik</sup>R<sub>ik</sub> heet de scalaire ruimtekromming. | |||
=== Einstein vergelijkingen === | === Einstein vergelijkingen === | ||
§95. Einstein | §95. De Einstein vergelijkingen bepalen de Ricci krommingtensor R<sub>ik</sub> als functie van de energie-impuls tensor T<sub>ik</sub>. | ||
R<sub>ik</sub> = (8π𝓖/c⁴)(T<sub>ik</sub> - g<sub>ik</sub>T<sup>l</sup><sub>l</sub>/2) | |||
𝓖 = 6,674 x 10<sup>−11</sup> m<sup>3</sup> s<sup>−2</sup> kg<sup>−1</sup> is de Newtonse gravitatie constante. De Ricci tensor is | |||
: R<sub>ik</sub> = ∂Γ<sup>l</sup><sub>ik</sub>/∂x<sub>l</sub> - ∂Γ<sup>l</sup><sub>il</sub>/∂x<sub>k</sub> + Γ<sup>l</sup><sub>ik</sub>Γ<sup>m</sup><sub>lm</sub> - Γ<sup>m</sup><sub>il</sub>Γ<sup>l</sup><sub>km</sub> | |||
De Einstein vergelijkingen kunnen in veel andere vormen geschreven worden, bijv | |||
: G<sub>ik</sub> = R<sub>ik</sub> - g<sub>ik</sub>R/2 = (8π𝓖/c⁴)T<sub>ik</sub> | |||
G<sub>ik</sub> heet de Einstein tensor. | |||
Einstein vond deze vergekijkingen in nov 1915 ongeveer gelijktijdig met David Hilbert met wie hij intensief correspondeerde. | |||
§99. Als snelheden veel kleiner zijn dan c, en de zwaartekracht zwak, is g<sub>00</sub> = 1+2U/c² met de zwaartekracht potentiaal U. | §99. Als snelheden veel kleiner zijn dan c, en de zwaartekracht zwak, is g<sub>00</sub> = 1+2U/c² met de zwaartekracht potentiaal U. | ||
Van T<sub> | Van T<sup>i</sup><sub>k</sub> resteert alleen de tijd component | ||
: T<sup>0</sup><sub>0</sub> = μc² met massadichtheid μ, | : T<sup>0</sup><sub>0</sub> = μc² met massadichtheid μ, | ||
alle andere componenten zijn te verwaarlozen. Ook T=μc². Van R<sub>ik</sub> blijft ook alleen | alle andere componenten zijn te verwaarlozen. Ook T=μc². Van R<sub>ik</sub> blijft ook alleen | ||
: R<sub>00</sub> = ( | : R<sub>00</sub> = (4π𝓖/c²)μ | ||
over. De Einstein vergelijkingen zijn dan | over. De Einstein vergelijkingen zijn dan | ||
: ΔU = | : ΔU = 4π𝓖μ met de Laplace operator Δ = ∂²/∂x<sup>α</sup>∂x<sup>α</sup> | ||
Dit is de niet-relativistische vergelijking van de zwaartekracht potentiaal (analoog aan de vergelijking van de elektrische potentiaal van ladingsdichtheid). | Dit is de niet-relativistische vergelijking van de zwaartekracht potentiaal (analoog aan de vergelijking van de elektrische potentiaal van ladingsdichtheid). | ||
Regel 76: | Regel 120: | ||
§100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ | §100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ | ||
: ds² = (1-r<sub>g</sub>/r)c²dt² - r²(sin²θ dφ²+dθ²) - dr²/(1-r<sub>g</sub>/r) | : ds² = (1-r<sub>g</sub>/r)c²dt² - r²(sin²θ dφ²+dθ²) - dr²/(1-r<sub>g</sub>/r) | ||
waarin r<sub>g</sub>= | waarin r<sub>g</sub>=2𝓖M/c². Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen in de ruimte buiten de materie die de zwaartekracht veroorzaakt, dus waar R<sub>ik</sub>=0. | ||
§101. Van de Zon is de gravitatie straal r<sub>g</sub> = 3 km en de straal r = 7.10<sup>5</sup> km. Voor planeten is de relativistische correctie op hun ellips banen zeer gering vergeleken met Newtons theorie omdat hun snelheid veel kleiner is dan c. Voor Mercurius is deze correctie 43" per eeuw. | §101. Van de Zon is de gravitatie straal r<sub>g</sub> = 3 km en de straal r = 7.10<sup>5</sup> km. Voor planeten is de relativistische correctie op hun ellips banen zeer gering vergeleken met Newtons theorie omdat hun snelheid veel kleiner is dan c. Voor Mercurius is deze correctie 43" per eeuw. | ||
Regel 93: | Regel 137: | ||
: ds² = c²dt² - dr²/(1-r²/a²) - r²(sin²θ dφ²+dθ²) | : ds² = c²dt² - dr²/(1-r²/a²) - r²(sin²θ dφ²+dθ²) | ||
in bolcoordinaten. De parameter a is de kromtestraal van het universum die groeit van nul tot een maximum | in bolcoordinaten. De parameter a is de kromtestraal van het universum die groeit van nul tot een maximum | ||
: a<sub>max</sub> = | : a<sub>max</sub> = 4𝓖M/3πc² | ||
en dan weer afneemt tot nul. M is de totale massa in het universum. De tijdsduur van dit proces is πa<sub>max</sub>/c. | en dan weer afneemt tot nul. M is de totale massa in het universum. De tijdsduur van dit proces is πa<sub>max</sub>/c. | ||
Regel 103: | Regel 147: | ||
=== Oerknal === | === Oerknal === | ||
§114. De expansie van het universum werd bevestigd toen '''Edwin Hubble''' in 1929 de roodverschuiving van de spectra van verre sterrenstelsels publiceerde. Hij vond dat deze sterren zich verwijderen met een snelheid v evenredig met hun afstand l | §114. De expansie van het universum werd in 1927 berekend door '''Georges Lemaître'''<ref>''Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant, rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques'', "''Annales de la Société scientifique de Bruxelles''", série A: Sciences Mathématiques, I, 47 (1927), pp. 49–59</ref> en bevestigd toen '''Edwin Hubble''' in 1929 de roodverschuiving van de spectra van verre sterrenstelsels publiceerde. Hij vond dat deze sterren zich verwijderen met een snelheid v evenredig met hun afstand l | ||
: v = Hl, H = 7.10<sup>-11</sup> per jaar | : v = Hl, H = 7.10<sup>-11</sup> per jaar | ||
H is de Hubble constante. 1/H is de ouderdom van het universum, 14 miljard jaar. | H is de Hubble constante. 1/H is de ouderdom van het universum, 14 miljard jaar. | ||
De expansie begon niet op een tijdstip ergens in de ruimte. Met de oerknal ontstond tijd en ruimte. Volgens Stephen Hawking ontstond toen ook de positieve energie van elementaire deeltjes en de evengrote negatieve energie van zwaartekracht (ruimtekromming). Naar een bevredigende verklaring wordt nog gezocht in een combinatie van quantummechanica en relativiteitstheorie tot een quantumveldentheorie.<ref>Stephen Hawking, ''A Brief History of Time'', ch.8</ref> Zie ook [[Oerknal]]. | De expansie begon niet op een tijdstip ergens in de ruimte. Met de oerknal ontstond tijd en ruimte. Volgens Stephen Hawking ontstond toen ook de positieve energie van elementaire deeltjes en de evengrote negatieve energie van zwaartekracht (ruimtekromming). Naar een bevredigende verklaring wordt nog gezocht in een combinatie van quantummechanica en relativiteitstheorie tot een quantumveldentheorie.<ref>Stephen Hawking, ''A Brief History of Time'', ch.8</ref> Zie ook [[Oerknal]]. | ||
[[Categorie:Natuurkunde]] | |||
[[Categorie:Albert Einstein]] |
Huidige versie van 8 sep 2023 om 17:54
Algemene relativiteitstheorie is in de natuurkunde de uitbreiding die Albert Einstein in 1915 gaf aan zijn relativiteitstheorie van 1905, namelijk voor zwaartekracht. De verandering van zwaartekrachtvelden van bewegende massa's kan niet onmiddelijk zijn, dus oneindige voortplantingssnelheid hebben zoals in Newton's theorie. In Einstein's theorie is zwaartekracht kromming van de vierdimensionale ruimtetijd, een wiskundig model dat Hermann Minkowski - ooit een van de professoren van de jonge Einstein in Zürich - had geïntroduceerd in 1908.
De reden voor het samenvoegen van ruimte en tijd is dat deze afzonderlijk niet invariant zijn, zie speciale relativiteitstheorie. Verschillende waarnemers zijn het oneens over de afstand tussen twee gebeurtenissen (vanwege lengtecontractie) of de tijdsduur tussen twee gebeurtenissen (vanwege tijddilatatie). In ruimtetijd wordt daarom een invariant Δs gedefinieerd, interval genaamd, dat afstand en tijdsduur combineert.
- Δs² = c²Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)
waarin Δ coordinaatverschil aanduidt, Δs²=(Δs)², niet Δ(s²). Alle waarnemers die de tijd en afstand tussen twee gebeurtenissen meten, zullen hetzelfde interval berekenen. Of eigentijd Δτ = Δs/c.
In de algemene relativiteitstheorie is niet alleen tijd toegevoegd als vierde dimensie aan de ruimte, maar deze is bovendien gekromd door materie en elektromagnetisme. Einstein gebruikte daarvoor differentiaal meetkunde van gekromde ruimte van Bernhard Riemann, gepubliceerd door Elwin Christoffel in 1869.
De volgende beschrijving van deze zwaartekracht theorie is ontleend aan Lev Landau en Evgeny Lifshitz, The classical theory of fields. De § nummers verwijzen naar de 4de editie.
§81. Een versneld systeem is equivalent met een niet-versneld systeem met zwaartekrachtveld. Bijv valbeweging door zwaartekracht op de Aarde is hetzelfde als valbeweging ver van de Aarde in een ruimteschip dat door raketaandrijving 9,8 m/s² versneld wordt.
Kromme ruimtetijd
Gekromde ruimte is niet voor te stellen, maar wel te beschrijven door de meetkunde op een gekromd oppervlak uit te breiden naar drie (of meer) dimensies. Op een gekromd oppervlak, bijv van een bol, is het niet mogelijk een cartesisch (rechtlijnig) coordinatenstelsel te leggen; een xy coordinatenstelsel is kromlijnig. Dat is ook zo voor 3-dimensionale gekromde ruimte; een xyz coordinatenstelsel is kromlijnig. Slechts in een infinitesimaal gebiedje is een coordinatenstelsel mogelijk cartesisch.
In een kromlijnig xyz coordinatenstelsel zijn er voor de basisvectors in een punt (x,y,z) twee mogelijkheden: de x-vector staat loodrecht op het vlak x = constant, of wijst in de richting van de lijn die in beide vlakken y = constant en z = constant ligt. In een cartesisch stelsel vallen deze mogelijkheden samen, maar in een kromlijnig stelsel zijn er in elk punt verschillende gelijkwaardige basisvector stelsels, contra- en co-variant genoemd.
§83. In 4-dimensionale ruimtetijd wordt een willekeurig coordinaten stelsel x0,x1,x2,x3 beschouwd en de transformatie naar een ander stelsel x,0,x,1,x,2,x,3. De xi zijn bepaalde functies van de x,k.
Een contravariant vectorveld Ai transformeert per definitie net zo als coordinaat differentialen dxi = ∑k(∂xi/∂x,k)dx,k, dus Ai = ∑k(∂xi/∂x,k)A,k. Somtekens worden weggelaten (sommatie conventie).
- Ai = (∂xi/∂x,k)A,k
Een vectorveld Bi dat transformeert als de afgeleiden van een scalar ∂φ/∂xi = (∂φ/∂x,k)(∂x,k/∂xi), dus
- Bi = (∂x,k/∂xi)B'k
heet covariant. Contra- en co-variante vectors worden genoteerd met respectievelijk super- en sub-scripts.
Een 4x4 matrix Aik die transformeert als het product van twee contravariante vectors
- Aik = (∂xi/∂x,l)(∂xk/∂x,m)A,lm
is een contravariante tensor. Een matrix Aik die transformeert als het product van twee covariante vectors
- Aik = (∂x,l/∂xi)(∂x,m/∂xk)A'lm
is een covariante tensor. Een gemengde tensor Aik transformeert volgens
- Aik = (∂xi/∂x,l)(∂x,m/∂xk)A,lm
Het interval ds is in het algemeen alleen te definiëren voor infinitesimaal gescheiden gebeurtenissen en het kwadraat heeft dan de vorm
- ds² = gikdxidxk
De matrix elementen gik zijn functies van de xi coordinaten. Gewoonlijk zijn x1, x2, x3 ruimtecoordinaten en x0 de tijdcoordinaat. Deze matrix heet de metrische tensor en bepaalt de ruimtetijd metriek. De tensor is covariant en symmetrisch, gik=gki, dus van de 16 termen van ds² zijn er 6 dubbel. De inverse matrix is de contravariante metrische tensor gik:
- gikgkl = δli
met de eenheidstensor
- δik = 0 voor i≠k en 1 voor i=k
Hetzelfde natuurkundige veld kan beschreven worden als contra- en co-variant vectorveld. Het verband tussen deze vormen wordt bepaald door de metriek:
- Ai = gikAk, Ai = gikAk
Hetzelfde geldt voor tensorvelden, bijv
- Aik = gilgkmAlm, Aik = gilAkl
In een cartesisch coordinatenstelsel zijn de componenten van gik en gik hetzelfde.
- g00=1, g11=g22=g33= -1, gik=0 voor i≠k
Energie-impuls tensor
§32,33. De energie-impuls tensor Tik is contravariant en symmetrisch met componenten (α en β = 1,2,3)
- T00 is de energiedichtheid (ook electromagnetisch)
- T0α = Tα0 is de α component van de impulsdichtheid (ook de Poynting vector)
- Tαβ is de flux van de α component van de impuls door het oppervlak van constante β (ook de Maxwell spanningtensor), voor α≠β is dat de schuifspanning en voor α=β is het de druk
De covariante vorm van de energie-impuls tensor is
- Tik = Tlmgilgkm
en de gemengde vorm
- Tik = Tilgkl
Covariante afgeleide
§85,86. In kromlijnige coordinaten is de differentiaal dAi geen covariante vector. Omdat de gik niet constant zijn maar functies van xl, verandert gaande van xl naar xl+dxl ook het coordinatenstelsel. Gecorrigeerd is de covariante differentiaal een ingewikkelde formule die hier zonder afleiding genoteerd wordt.
- DAi = (∂Ai/∂xl - ΓkilAk)dxl
Het Γ symbool, genoemd naar Elwin Christoffel, is
- Γikl = (gim/2)(∂gmk/∂xl + ∂gml/∂xk - ∂gkl/∂xm)
Christoffel introduceerde deze symbolen in 1869 in de differentiaal meetkunde van gekromde ruimte. DAi is een covariante vector en DAi/dxl is de covariante afgeleide, een tensor.
De covariante afgeleide van een tensor is
- DAik/dxl = ∂Aik/∂xl - Γmilgmk - Γmklgim
De covariante afgeleide van gik is nul.
In cartesische coordinaten zijn de componenten van gim en gim hetzelfde, en constant dus de Γikl nul.
Constante versnelling
§88. Bij constante versnelling tussen waarnemers, equivalent met een statisch zwaartekrachtveld, zijn alle gik onafhankelijk van de tijd x0 en g01=g02=g03=0. Dan is voor waarnemers de eigentijd τ hetzelfde in de hele ruimte.
- τ = (x0/c)√g00
De snelheid van een massa in dit systeem is, gemeten in eigentijd,
- v = dl/dτ met dl² = -gαβdxαdxβ gesommeerd over α en β van 1 tot 3.
De energie van de massa is behouden:
- E = 𝛾mc²√g00 met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)
Als v veel kleiner is dan c, en de zwaartekracht zwak, is g00 = 1+2U/c² en
- E = mc²+½mv²+mU
waarin U de potentiaal van het zwaartekracht veld is.
Ruimtekromming tensor
§91. Bernhard Riemann definiëerde in 1861 de tensor die ruimtekromming beschrijft. Het werd pas gepubliceerd in 1876, tien jaar na zijn dood.[1]
- Riklm = ∂Γikm/∂xl - ∂Γikl/∂xm + ΓinlΓnkm - ΓinmΓnkl
In vlakke (niet gekromde) ruimte is de Riemann tensor nul, en omgekeerd, als Riklm = 0 dan is de ruimte vlak.
§92. De Ricci tensor is Rik = Rlilk
De invariant R = gikRik heet de scalaire ruimtekromming.
Einstein vergelijkingen
§95. De Einstein vergelijkingen bepalen de Ricci krommingtensor Rik als functie van de energie-impuls tensor Tik.
Rik = (8π𝓖/c⁴)(Tik - gikTll/2)
𝓖 = 6,674 x 10−11 m3 s−2 kg−1 is de Newtonse gravitatie constante. De Ricci tensor is
- Rik = ∂Γlik/∂xl - ∂Γlil/∂xk + ΓlikΓmlm - ΓmilΓlkm
De Einstein vergelijkingen kunnen in veel andere vormen geschreven worden, bijv
- Gik = Rik - gikR/2 = (8π𝓖/c⁴)Tik
Gik heet de Einstein tensor.
Einstein vond deze vergekijkingen in nov 1915 ongeveer gelijktijdig met David Hilbert met wie hij intensief correspondeerde.
§99. Als snelheden veel kleiner zijn dan c, en de zwaartekracht zwak, is g00 = 1+2U/c² met de zwaartekracht potentiaal U. Van Tik resteert alleen de tijd component
- T00 = μc² met massadichtheid μ,
alle andere componenten zijn te verwaarlozen. Ook T=μc². Van Rik blijft ook alleen
- R00 = (4π𝓖/c²)μ
over. De Einstein vergelijkingen zijn dan
- ΔU = 4π𝓖μ met de Laplace operator Δ = ∂²/∂xα∂xα
Dit is de niet-relativistische vergelijking van de zwaartekracht potentiaal (analoog aan de vergelijking van de elektrische potentiaal van ladingsdichtheid).
Schwarzschild oplossing
§100. De zwaartekracht rond (niet in) een massa M (bijv een ster) wordt beschreven met een interval in bolcoordinaten ct,r,θ,φ
- ds² = (1-rg/r)c²dt² - r²(sin²θ dφ²+dθ²) - dr²/(1-rg/r)
waarin rg=2𝓖M/c². Karl Schwarzschild vond in 1916 deze oplossing van de Einstein vergelijkingen in de ruimte buiten de materie die de zwaartekracht veroorzaakt, dus waar Rik=0.
§101. Van de Zon is de gravitatie straal rg = 3 km en de straal r = 7.105 km. Voor planeten is de relativistische correctie op hun ellips banen zeer gering vergeleken met Newtons theorie omdat hun snelheid veel kleiner is dan c. Voor Mercurius is deze correctie 43" per eeuw.
§102. In de Schwarzschild metriek gaat gtt naar nul en grr naar oneindig als r=rg. Dit betekent dat een voldoende grote massa niet in evenwicht kan blijven en implodeert tot een zwart gat. Een ster die veel zwaarder is dan de Zon, kan als alle waterstof gefuseerd is instorten tot de straal r de gravitatie straal rg nadert, en dan een zwart gat vormen. De ster concentreert alle massa in het centrum in eindige eigentijd, en straalt niets meer uit. In de omgeving werkt alleen zijn zwaartekracht.
Zwaartekracht golven
§107. Sterren die zich versneld bewegen tov elkaar veranderen hun gravitatieveld. Volgens Newton is die verandering instantaan overal in de ruimte, maar volgens Einstein plant die zich niet oneindig snel maar met de lichtsnelheid voort als een golf. Zwaartekracht golven zijn een verstoring (rimpel) van een zwaartekrachtveld, dus van de metrische tensor. Gravitatiegolven zijn transversaal.
§110. Twee massa's die om hun gemeenschappelijk zwaartepunt draaien, stralen zwaartekrachtgolven uit. Van twee dicht om elkaar draaiende zwarte gaten die daardoor energie verloren en fuseerden, is de golf in 2016 gemeten op Aarde.[2]
Friedmann oplossing
§111, 112. Alexander Friedmann vond in 1922 een oplossing van de Einsteinvergelijkingen voor een model van het universum waarin materie niet geconcentreerd is in sterren maar als gas gelijkmatig verdeeld is. De oplossing is singulier: het universum begint met oneidige massadichtheid en expandeert.
Het interval in dit model van het universum is
- ds² = c²dt² - dr²/(1-r²/a²) - r²(sin²θ dφ²+dθ²)
in bolcoordinaten. De parameter a is de kromtestraal van het universum die groeit van nul tot een maximum
- amax = 4𝓖M/3πc²
en dan weer afneemt tot nul. M is de totale massa in het universum. De tijdsduur van dit proces is πamax/c.
Het gekromde universum bevat alle ruimte in een eindig volume (en heeft dus geen grenzen met omringende ruimte).
- V = 2π²a³
(Dat is niet visueel voorstelbaar, maar het beeld van een analoge tweedimensionale ruimte helpt: het oppervlak van een bol is gekromd, het heeft geen grenzen en het is eindig; eigenschappen die een driedimensionale ruimte ook kan hebben.) V verschilt van het volume (4/3)πa³ van een bol met straal a die begrensd is in omringende ruimte.
§113. Friedmann vond ook in 1924 een oplossing met krommming a² die van nul steeds meer negatief wordt. Er is ook de oplossing met oneindige kromtestraal a, dus de niet-gekromde ruimte. In deze oplossingen is het volume van het universum oneindig. Het is niet bekend of het universum eindig of oneindig is, massa M en volume V zijn onbekend omdat maar een klein deel van het universum op Aarde waarneembaar is.[3]
Oerknal
§114. De expansie van het universum werd in 1927 berekend door Georges Lemaître[4] en bevestigd toen Edwin Hubble in 1929 de roodverschuiving van de spectra van verre sterrenstelsels publiceerde. Hij vond dat deze sterren zich verwijderen met een snelheid v evenredig met hun afstand l
- v = Hl, H = 7.10-11 per jaar
H is de Hubble constante. 1/H is de ouderdom van het universum, 14 miljard jaar.
De expansie begon niet op een tijdstip ergens in de ruimte. Met de oerknal ontstond tijd en ruimte. Volgens Stephen Hawking ontstond toen ook de positieve energie van elementaire deeltjes en de evengrote negatieve energie van zwaartekracht (ruimtekromming). Naar een bevredigende verklaring wordt nog gezocht in een combinatie van quantummechanica en relativiteitstheorie tot een quantumveldentheorie.[5] Zie ook Oerknal.
- º https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemann_tensor
- º https://www.nature.com/articles/nature.2016.19361
- º https://theconversation.com/is-space-infinite-we-asked-5-experts-165742
- º Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant, rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques, "Annales de la Société scientifique de Bruxelles", série A: Sciences Mathématiques, I, 47 (1927), pp. 49–59
- º Stephen Hawking, A Brief History of Time, ch.8