Speciale relativiteitstheorie

De speciale relativiteitstheorie, in 1905 gepubliceerd door Albert Einstein, is de bewegingsleer (kinematica) voor het geval dat snelheden niet zeer klein zijn tov de lichtsnelheid c. Volgens deze theorie zijn lengte en tijd relatief, namelijk afhankelijk van het snelheidsverschil tussen waarnemers, en massa heeft energie evenredig met c².

De volgende beschrijving van de theorie is ontleend aan Robert B Leighton, Principles of modern physics, ch.1.

Einstein ging uit van twee postulaten:

1. De natuurwetten zijn dezelfde voor waarnemers die zich eenparig (niet versneld) bewegen tov elkaar.
2. De lichtsnelheid c in vacuüm is gelijk voor iedere waarnemer, onafhankelijk van de snelheid van de bron.

Ruimte - tijd relatie

Laat twee waarnemers W en W' rechtlijnig bewegen met constant snelheidsverschil V. Laat op enig moment de oorsprongen van hun coordinaatsystemen met gelijkgerichte assen x,y,z en x',y',z' samenvallen en synchonizeer dan hun klokken t=t'=0. Ontsteek op dat moment een lichtflits in de oorsprong. Volgens de postulaten hebben de vergelijkingen van de lichtgolf van die flits voor beide waarnemers de zelfde bolvorm

x²+y²+z² = c²t² en x'²+y'²+z'² = c²t'²

met straal ct en ct' en middelpunten in hun oorsprongen. Beide waarnemers, die zich steeds verder van elkaar verwijderen, zijn in de oorsprong van hun coordinaatsystemen in het middelpunt van dezelfde bolgolf. Hoe kan dat?

De oplossing van deze paradox is het vinden van de coordinatentransformatie. De transformatie van de y en z coordinaten is eenvoudig y=y' en z=z', maar die tussen x',t' en x,t zodanig dat

x² - c²t² = x'² - c²t'² = 0

is het probleem. De niet-relativistische translatie x'=x-Vt en t'=t is niet de oplossing. Dan is x'² niet gelijk aan c²t'² zodat de oorsprong x'=0 niet het middelpunt van de golf is.

De relativistische transformatie heeft een ingewikkelder vorm waarin t' ook van x afhangt

x' = g(x-Vt) en t' = at+bx/c

met dimensieloze factoren g, a en b. Invullen in de golf vergeljkingen geeft

x²-c²t² = g²(x-Vt)²-c²(at+bx/c)² = (g²-b²)x²-2(g²V+abc)xt+(g²V²-a²c²)t² = 0.

Dit geldt voor alle x en t dus

g²-b² = 1, a²c²-g²V² = c² en g²V+abc = 0,

drie vergelijkingen voor g, a en b. Volgens de derde vergelijking is g⁴V²=a²b²c². Substitueer a² en b² volgens de eerste twee vergelijkingen. De g⁴V² term valt er uit en het resultaat is:

g²(1-V²/c²) = 1, a = g en b = -gV/c.

Met de gangbare notatie 𝛽=V/c en 𝛾=g is de transformatie, genoemd naar Hendrik Lorentz,

x' = 𝛾(x-𝛽ct), y' = y, z' = z, ct' = 𝛾(ct-𝛽x) met 𝛾 = 1/√(1-𝛽²).

Met deze transformatie blijft ook waarnemer W' in het middelpunt van de bolgolf volgens zijn coordinatensysteem. De omgekeerde transformatie, van x',t' naar x,t, is x = 𝛾(x'+𝛽ct'), ct = 𝛾(ct'+𝛽x') met tegengesteld teken van 𝛽.

De Lorentztransformatie is de wiskundige formulering van de relatie van ruimte en tijd.

Lengtecontractie en tijddillatatie

Stel dat W' een maatstok ter lengte L (bijv 1 meter) heeft parallel met de x' as. L = Δx' waarin Δ coordinaatverschil betekent tussen de stokeinden. Δx' = 𝛾Δx dus volgens W is de stoklengte Δx = L/𝛾, een factor 𝛾 korter. Dit heet Lorentz-FitzGerald contractie. De dikte van de stok is voor W en W' gelijk.

Stel dat W' een klok heeft op plaatscoordinaat x'=0 met tijdverschil T (bijv 1 seconde) tussen opeenvolgende tikken. T = Δt' volgens W'. Volgens W is het tijdsverschil fussen tikken Δt = 𝛾T, een factor 𝛾 langer, dus de klok van W' loopt langzamer. Dit heet tijddilatatie (vertraging).

De W' klok beweegt volgens W tussen de tikken over een afstand Δx = 𝛾𝛽cΔt' = 𝛾𝛽cT = V𝛾T.

Snelheden optellen

Laat een derde waarnemer W" eenparig rechtlijnig bewegen met snelheidsverschil V' tov W' in de x richting. Wat is de snelheid van W" tov W? De transformatie van de x" en t" coordinaten van W" naar x' en t' is

x" = 𝛾'(x'-𝛽'ct'), ct" = 𝛾'(ct'-𝛽'x') met 𝛽' = V'/c en 𝛾' = 1/√(1-𝛽'²).

Uitgedrukt in W coordinaten x,t is x" = 𝛾'(𝛾x-𝛾𝛽ct-𝛽'𝛾ct+𝛾𝛽'𝛽x) = 𝛾'𝛾[x(1+𝛽'𝛽)-ct(𝛽+𝛽')]. W" bevindt zich op x"=0, dat is op x = ct(𝛽+𝛽')/(1+𝛽'𝛽). De snelheid van W" is volgens W

 x /t = c  𝛽+𝛽' /1+𝛽'𝛽 =  V+V' /1+𝛽'𝛽

Dus niet V+V' maar een factor 1+𝛽'𝛽 kleiner, en daardoor kleiner dan c zelfs als V+V' groter dan c is.

Mechanica

Relativistisch is de impuls van een massa m met snelheid v:

p = 𝛾mv met 𝛾 = 1/√(1-v²/c²)

Een kracht K op de massa in de bewegingsrichting verandert de impuls. Omdat d𝛾/dt = 𝛾³(v/c²)dv/dt is

K = dp/dt = m(vd𝛾/dt+𝛾dv/dt) = m(𝛾³v²/c²+𝛾)dv/dt = m𝛾³dv/dt

De energie E van de massa verandert door K volgens

dE/dt = Kv = mc²d𝛾/dt

dus zoals 𝛾mc² verandert. Relativistisch is de energie

E = 𝛾mc²

Als v veel kleiner dan c is, is 𝛾=1+v²/2c² en E = mc²+½mv², rustenergie plus kinetische energie.

Ruimtetijd

De relativiteitstheorie toont dat tijd anders verstrijkt voor verschillende waarnemers. Hermann Minkowski bedacht in 1907 dat de theorie eenduidig te formuleren is in ruimtetijd met 3 ruimte coordinaten x,y,z en als vierde coordinaat ct (zodat deze ook dimensie lengte heeft). In dat stelsel is het mogelijk de eigentijd Δτ tussen twee gebeurtenissen (punten) met verschillende coordinaten x,y,z,ct te definiëren die voor verschillende waarnemers wel gelijk is:

Δτ² = Δt² - (Δx²+Δy²+Δz²)/c²

waarin Δ coordinaatverschil aanduidt.

Δτ is positief als de afstand tussen de gebeurtenissen (punten) groter is dan cΔt. Als de afstand kleiner is dan cΔt, is Δτ² negatief, dus Δτ imaginair; de eigentijd heet dan ruimtelijk. De eigentijd van een foton dat vanuit een ster in ons oog komt, is nul, ondanks dat het (vanuit ons perspectief) jaren op weg is geweest.

Voor de bovenvermelde klok van W' is de eigentijd tussen kloktikken Δτ=Δt'=T. Ook volgens W want Δτ² = Δt² - Δx²/c² = (𝛾T)² - (V𝛾T/c)² = T².

Voor W' is de eigentijd tussen de maatstokeinden Δτ² = -Δx'²/c² want Δt'=0. Dus Δτ² = -L²/c² en Δτ=iL/c is imaginair. Voor W is Δt tussen de maatstokeinden 𝛾𝛽Δx'/c = 𝛾𝛽L/c en Δτ² = Δt² - Δx²/c² = (𝛾𝛽L/c)² - (𝛾L/c)² = (𝛾L/c)²(𝛽²-1) = -L²/c², dus Δτ=iL/c ook voor W. De eenheid van lengte uitgedrukt in eigentijd is de lichtseconde, 299 792 458 meter.

Kromme ruimtetijd

Einstein formuleerde in 1915 de Algemene relativiteitstheorie in ruimtetijd die gekromd is door massa. Zwaartekracht is in deze theorie ruimtekromming.

  Zie ook de categorie met mediabestanden in verband met Special relativity op Wikimedia Commons.